[es] - Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

galet@world

Član broj: 81985
Poruke: 1076
*.adsl-a-2.sezampro.yu.

+3 Profil

Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{26.04.2009. u 07:22 - pre 182 meseci}

Nadam se, pošto je ovo forum za matematiku, da i nematematičari mogu postaviti poneko principijelno pitanje.
Evo šta mene muči:
Ako kružnicu posmatramo iznutra onda je ona konkavna, a ako je posmatramo spolja ona je konveksna što bi
trebalo da znači da je konveksna strana duža od konkavne.
Ako pak smatramo da su obe strane jednako dugačke onda bi dobili pravu jer to je svojstvo prave.
Ako je odgovor da kružnica nema dve strane nego da je to uvek samo jedna strana - odakle onda potiče
zakrivljenost i kako se ona objašnjava kod bilo kakve krive?
Ovo verovatno ne spada u ovu temu pa ako moderator smatra da je interesantno neka ovom nađe neko drugo
mesto.

holononi

Član broj: 163572
Poruke: 658
91.148.86.*

+5 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{26.04.2009. u 11:32 - pre 182 meseci}

Citat:

Ako kružnicu posmatramo

Po definiciji kružnica je geometrijsko mesto svih tačaka na rastojanju r (poluprečnik) od date tačke C (centar). U definiciji se ne zahteva sa koje strane se posmatra, da bi bila na kružnici konkretna tačka mora da ispunjava samo uslov rastojanja od tačke C. Kako je dimenzija tačke jednaka 0 (nula) sledi da nema nikakvih dilema u pogledu dužine s jedne ili druge strane.

U opštem slučaju, dužina luka se računa preko integrala. Kad je kružnica u pitanju dovoljno je posmatrati prvi kvadrant. Iz konkavne mogu doći do konveksne funkcije prostom promenom znaka i obratno, a to neće uticati na dužinu.

Krivina krive je mera odstupanja krive od tangente kad se tačka udaljava od dodirne tačke. Jednostavno, poluprečnik krivine je
R = (1+(f'(x))^2)^(3/2) / |f'(x)|

Kod matematičkih pojmova treba se držati definicija dok su intuitivne predstave u drugom planu. Ako se posmatra opna jajeta, onda unutrašnja i spoljnja strana nisu iste dužine. Objašnjenje je jednostavano, broj molekula nije isti sa obe strane. Tada neko može da uzme limenu traku i da je savije u krug i tvrdi da spoljnja i unutrašnja strana nisu iste dužine iako je broj atoma isti. To je tačno, ali savijanjem je povećao medjuatomsko rastojanje na spoljnjoj strani pa ju je produžio. Medjutim i tada treba da bude oprezan jer pri savijanju mogu nastati mikropukotine kod slabo elastičnih materijala a što se može videti mikroskopom.

Skup realnih brojev ima jednu "neobičnu" osobinu. Ma kako uzeli mali interval uvek imamo beskončno mnog tačaka da spojimo dve krajnje tačke neprekidnom linijom. Takvo nešto nema svog analogona u svakodnevnom iskustvu čoveka.

galet@world

Član broj: 81985
Poruke: 1076
*.adsl-a-2.sezampro.yu.

+3 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{26.04.2009. u 16:10 - pre 182 meseci}

To što si odgovorio meni je uglavnom poznato, međutim, verovatno me nisi razumeo pa ću pokušati da to objasnim drukčije.
Ako uzmemo pravu liniju onda je međusobni odnos tačaka te linije drukčiji nego međusobni odnos tačaka neke krive linije.
(iako ja smatram da tačke nisu gradivni element intervala, ali to zasad zanemari) Taj odnos je različit i skraćivanje intervala
između krajnjih tačaka ne utiče na tu različitost t. j. zakrivljenost prave i krive su u bilo kojim tačkama različite (izuzev
tačaka infleksije) Dakle sasvim sigurno postoji različitost u odnosu među tačkama - kako je moguće postojanje te
različitosti ako postoje konkavna i konveksna strana krive iste dužine kao što je to slučaj sa stranama prave linije?
Po čemu se onda razlikuju i kako je moguće zakrivljenje ako strane ostaju jednake kao kod prave?

Citat:

Skup realnih brojev ima jednu "neobičnu" osobinu. Ma kako uzeli mali interval uvek imamo beskončno mnog tačaka da spojimo dve krajnje tačke neprekidnom linijom. Takvo nešto nema svog analogona u svakodnevnom iskustvu čoveka.

Elementarni element neprekidne linije je interval a ne tačka. Smeštanje tačaka između krajeva intervala ma koliko ih bilo je isto
kao da nismo učinili ništa, a to ima svoj analogon u svakodnevnom iskustvu, ali o tom potom.

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
91.148.83.*

+6 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{26.04.2009. u 21:21 - pre 182 meseci}

Citat:

galet@world: To što si odgovorio meni je uglavnom poznato, međutim, verovatno me nisi razumeo pa ću pokušati da to objasnim drukčije.
Ako uzmemo pravu liniju onda je međusobni odnos tačaka te linije drukčiji nego međusobni odnos tačaka neke krive linije.
(iako ja smatram da tačke nisu gradivni element intervala, ali to zasad zanemari) Taj odnos je različit i skraćivanje intervala
između krajnjih tačaka ne utiče na tu različitost t. j. zakrivljenost prave i krive su u bilo kojim tačkama različite (izuzev
tačaka infleksije) Dakle sasvim sigurno postoji različitost u odnosu među tačkama - kako je moguće postojanje te
različitosti ako postoje konkavna i konveksna strana krive iste dužine kao što je to slučaj sa stranama prave linije?
Po čemu se onda razlikuju i kako je moguće zakrivljenje ako strane ostaju jednake kao kod prave?

Elementarni element neprekidne linije je interval a ne tačka. Smeštanje tačaka između krajeva intervala ma koliko ih bilo je isto
kao da nismo učinili ništa, a to ima svoj analogon u svakodnevnom iskustvu, ali o tom potom.

Prava je takođe kružnica (beskonačno velikog poluprečnika), te ne postoji nikakva "razlika u međusobnom odnosu" tačaka prave i kružnice.

galet@world

Član broj: 81985
Poruke: 1076
*.adsl-a-2.sezampro.yu.

+3 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{26.04.2009. u 23:26 - pre 182 meseci}

Citat:

Farenhajt: Prava je takođe kružnica (beskonačno velikog poluprečnika), te ne postoji nikakva "razlika u međusobnom odnosu" tačaka prave i kružnice.

Prema ovome sledi da su prava i kružnica beskonačno velikog prečnika identične pojave, ali šta je sa ostalim
kružnicama jer to ne možemo reći za dve kružnice koje imaju različite prečnike odnoso različitu zakrivljenost.
A osim toga po holononiju:

Citat:

Po definiciji kružnica je geometrijsko mesto svih tačaka na rastojanju r (poluprečnik) od date tačke C (centar)

po toj definiciji prava ne može biti kružnica jer bi imala dva takva centra t. j. po jedan u svakoj poluravni.

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
91.148.83.*

+6 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{27.04.2009. u 00:11 - pre 182 meseci}

Citat:

galet@world: Prema ovome sledi da su prava i kružnica beskonačno velikog prečnika identične pojave, ali šta je sa ostalim kružnicama jer to ne možemo reći za dve kružnice koje imaju različite prečnike odnoso različitu zakrivljenost.

ŠTA ne možemo reći?

Citat:

galet@world:po toj definiciji prava ne može biti kružnica jer bi imala dva takva centra t. j. po jedan u svakoj poluravni.

Štaviše, svaka prava može pripadati beskonačnom broju ravni, te takvih centara ima beskonačno mnogo, i svi se oni u beskonačnosti poklapaju. Naime, beskonačnost nije "mesto" na koje možeš stati pa reći: "E sad ja odavde imam pregled prave kao kružnice s beskonačno velikim prečnikom."

holononi

Član broj: 163572
Poruke: 658
*.adsl.beotel.net.

+5 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{27.04.2009. u 04:55 - pre 182 meseci}

Citat:

iako ja smatram da tačke nisu gradivni element intervala

Citat:

Elementarni element neprekidne linije je interval a ne tačka.

Ma koliko neko nešto smatrao da nije i dalje ostaje da su se matematičari dogovorili da je INTERVAL (otvoren, zatvoren, poluotvoren) SKUP TAČAKA odredjenih osobina. Naravno svi imaju pravo da definišu objekte po volji, ali bih se držao definicija barem dok se ne dogovorimo drugačije. Mada niko ne ume da kaže šta je to tačka.

Takodje, elementarno mi je prihvatljiv stav da je

Citat:

Prava je takođe kružnica (beskonačno velikog poluprečnika)

pa je odgovor na postavljeno pitanje upravo konstatacija

Citat:

te ne postoji nikakva "razlika u međusobnom odnosu" tačaka prave i kružnice.

bar u kontekstu postavljenog pitanja jer prava je i konveksna i konkavna na skupu realnih brojeva.

f(µx1 + (1-µ)x2) ≤ µf(x1) + (1-µ)f(x2) i kriva je konveksna. Za pravu treba staviti znak jednakosti. I ovo nikako ne utiče na dužinu. Jer dve konveksne krive koje se seku u dve tačke (izmedju kojih analiziramo krive) ne moraju da imaju istu dužinu (izmedju te dve tačke). Na istom intervalu mogu imati jednu konveksnu i jednu konkavnu krivu iste dužine. Iz svega toga mogu da zaključim da su konveksnost i konkavnost irelevantni za dužinu krive.

Citat:

kako je moguće zakrivljenje ako strane ostaju jednake

Očekuješ da se spoljnja strana produži jer to sledi iz svakodnevnog iskustva. Ovde jednostavno treba preći sa konkretnog na apstraktno razmišljanje. Tačka nema dimenzije a kriva (prava) linija nema debljinu.

galet@world

Član broj: 81985
Poruke: 1076
*.adsl-a-2.sezampro.yu.

+3 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{27.04.2009. u 07:34 - pre 182 meseci}

Citat:

Farenhajt: ŠTA ne možemo reći?

Za kružnicu konačnog prečnika i pravu, kao i za dve kružnice različitih prečnika ne možemo reći ovo:
Prava je takođe kružnica (beskonačno velikog poluprečnika), te ne postoji nikakva "razlika u međusobnom odnosu" tačaka prave i kružnice.
jer ako ovo uvažimo onda je ovde kružnica upoređena sama sa sobom ili sebi jednakom pa se ovaj iskaz
podrazumeva ali ne kazuje ništa.

Citat:

Farenhajt: Štaviše, svaka prava može pripadati beskonačnom broju ravni, te takvih centara ima beskonačno mnogo, i svi se oni u beskonačnosti poklapaju.

Koje je ovde značenje reči "poklapaju"? Ako se svi centri poklapaju onda sve ravni prolaze kroz to mesto
pa ih ne može biti beskonačan broj već samo jedna, zar ne?
Osim toga to bi bila jedina kružnica koja se nalazi u beskonačnom broju ravni i sa problematičnim brojem
centara pa je odstupanje od definicije kružnice očigledno.

Citat:

holononi: Mada niko ne ume da kaže šta je to tačka.

Tačku smo mi izmislili i rekli da nema dimenziju. Interval ima jednu dimenziju i po tome je interval pojava sama
za sebe i drukčija od tačke - tačka i interval su dve različite pojave i ne mogu se definisati jedna pomoću druge.
Jednako besmisleno je reći da beskonačan broj tačaka čini neki interval kao kad bismo rekli da beskonačan broj
tačaka čini neki ugao. Tačka, interval i ugao su tri različite stvari.

Citat:

pa je odgovor na postavljeno pitanje upravo konstatacija:"...te ne postoji nikakva "razlika u međusobnom
odnosu" tačaka prave i kružnice".

Već sam rekao da ova konstatacija ne kaže ništa jer ne upoređuje pravu sa kružnicom konačnog prečnika.

Citat:

...prava je i konveksna i konkavna na skupu realnih brojeva.

Nije reč o pravoj

Citat:

Očekuješ da se spoljnja strana produži jer to sledi iz svakodnevnog iskustva.

I očekujem i ne očekujem - ustvari čekam informaciju o tome - kako se to tumači jer je sasvim sigurno da su
odnosi među tačkama raznih krivih različiti, a ipak ispada da su dužine konkavne i konveksne strane jednake.

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.sbb.rs.

+2790 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{27.04.2009. u 07:44 - pre 182 meseci}

Ako je

neprekidno preslikavanje, dužina luka

se definiše kao supremum svih realnih brojeva oblika

. To je definicija i tu nema nikakvog razmatranja ove i one strane krive. Taj supremum može biti i beskonačan.

Ja mislim da razumem postavljača teme - za bojenje unutrašnje strane papirnatog kružnog cilindra treba malo manje boje nego za bojenje spoljašnje strane istog cilindra. To je zato što taj fizički model ne odgovara u potpunosti matematičkom kružnom cilindru iz dva razloga - papir ima debljinu i sloj boje ima debljinu.

No, matematički stavovi su tačni u kontekstu u kome su formulisani, a taj kontekst je dat definicijama. U standardnom zasnivanju realnih brojeva nema beskonačno malih veličina, pa samim tim ni mogućnosti za uvođenje definicije kojom bi se razlikovao unutrašnji i spoljašnji obim kružnice (a da on bude realan broj). Ako neko time nije zadovoljan, onda treba da kaže šta su tačno njegovi ciljevi, potrebe itd., pa da se nađe neki drugi formalizam koji bi zadovoljio te potrebe. U svakom slučaju, smatram da je motivacija vrlo važna, tj. da uvođenje pojmova bez konkretne motivacije nema mnogo smisla.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

galet@world

Član broj: 81985
Poruke: 1076
*.adsl-a-2.sezampro.yu.

+3 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{27.04.2009. u 12:51 - pre 182 meseci}

Pade mi napamet sledeći "eksperiment":
Ako iz ravni po nekoj kružnici isečemo i izvadimo krug šta dobijamo:
1. rupu ograničenu kružnicom
2. krug ograničen kružnicom
Dakle imamo dve kružnice. Kako da vratimo krug u ravan?
1. Ako su kružnice jednake onda se tačke kružnica poklapaju, zar ne?
2. Ako se tačke kružnica ne poklapaju onda kružnice nisu jednake.
Tačke kružnica se ne poklapaju jer je presecajuća kružnica bila između njih.

Ovo mi liči na paradoks koji je možda već neko pre mene postavio.

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 1951
93.86.69.*

+370 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{27.04.2009. u 13:09 - pre 182 meseci}

Zar nije iznutra gledano konveksna a spolja gledano konkavna.

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.sbb.rs.

+2790 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{27.04.2009. u 13:53 - pre 182 meseci}

galet@world

A zašto jednom ne bi naučio realne brojeve za promenu, jer očigledno postavljaš stalno ista pitanja koja se tiču zasnivanja realnih brojeva.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

holononi

Član broj: 163572
Poruke: 658
*.adsl.beotel.net.

+5 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{27.04.2009. u 14:41 - pre 182 meseci}

Mislim da ono što navodi @Nedeljko u prvom postu otprilike stavlja tačku na diskusiju po ovoj temi. Jer i @Nedeljko primećuje da @galet@world na mala vrata uvodi "debljinu" linije, samo što sam ja u prvom odgovoru koristio paralelu sa opnom jajeta i limenom trakom a @Nedeljko papirom.

Citat:

tačka i interval su dve različite pojave i ne mogu se definisati jedna pomoću druge.

Ovi stavovi se mogu proveritii u uvodu u (matematičku) analizu. Drugo, ako se pojmovi tačka, prava i ravan posmatraju u smislu Hilbertovih ili nekih drugih definicija treba obrazložiti kako iz toga sledi da su konveksna i konkavna strana kružnice različite dužine.

Citat:

kao kad bismo rekli da beskonačan broj tačaka čini neki ugao

Da, ugao se može definisati kao skup tačaka i to konveksan. ALI MERNI BROJ UGLA JE NEŠTO DRUGO. Čak i ako uvedemo strožiju definiciju ugla, služeći se terminima klasa ekvivalencije, to i dalje ostaju samo definicije u datom kontekstu.

Citat:

Ovo mi liči na paradoks koji je možda već neko pre mene postavio.

Aksiomatika realnih brojeva i teorije mere ponekad deluju paradoksalno. Da li su površine kruga sa i bez tačaka kružnice jednake?

Na kraju da napomenem jedan primer. Uvek možemo u polju karakteristike 2 konstruisati pravu koja je u stvari kružnica.

_{[Ovu poruku je menjao holononi dana 27.04.2009. u 20:24 GMT+1]}

galet@world

Član broj: 81985
Poruke: 1076
*.adsl-a-2.sezampro.yu.

+3 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{27.04.2009. u 16:53 - pre 182 meseci}

Citat:

Nedeljko:
A zašto jednom ne bi naučio realne brojeve za promenu, jer očigledno postavljaš stalno ista pitanja koja se tiču zasnivanja realnih brojeva.

A šta da naučim - da je tačka gradivni element intervala, da funkcija postoji i kad nema argumenta, da je

i slične
gluposti koje lansiraju "učeni"?
U nemogućnosti da odgovorite na ovo:

Citat:

1. Ako su kružnice jednake onda se tačke kružnica poklapaju, zar ne?
2. Ako se tačke kružnica ne poklapaju onda kružnice nisu jednake.
Tačke kružnica se ne poklapaju jer je presecajuća kružnica bila između njih.

počeli ste da mi se obraćate lično sa preporukom o obrazovanju koja nema osnov jer vi ste tu
obrazovani pa ipak nemate odgovor. Ovim i ja stavljam tačku na ovu temu jer je jasno da, osim
uvredljivog, pravi odgovor neću dobiti.

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
*.adsl.beotel.net.

+6 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{27.04.2009. u 21:02 - pre 182 meseci}

Galet@world, reklo bi se, ima problem s činjenicom da tzv. realni brojevi ne postoje u stvarnosti, te da stvarnosno iskustvo veze nema s onim kako su realni brojevi definisani.

Ali pazi sad ovo: SVI brojevi (pa i prirodni) jesu APSTRAKCIJA. Broj, kao pojam, ne postoji u prirodi. On je isključivo misaoni plod ljudskog uma, a pojavio se na osnovu dva temelja: apstrahovanja, tj. zamene jednog objekta drugim (ovca se predstavlja reckom na prutu), i bijekcije (svakoj recki odgovara tačno jedna ovca i svakoj ovci odgovara tačno jedna recka). Stoga bi se moglo reći da su prirodni brojevi svojevrsne klase ekvivalencije diskretnih skupova.

Onog momenta kad su ljudi ustanovili da raznim stvarnim skupovima mogu odgovarati jedni te isti sistemi recaka na prutu, tog momenta se otvorio prostor za pojavu APSTRAKTNOG pojma prirodnog broja. A ako je temeljna vrsta broja, iz koje su se razvile sve ostale, apstraktna, onda su neizbežno takve i sve ostale.

A ako su apstraktne, onda su i sve definicije vezane za njih apstraktne i potpuno je besmisleno tražiti ikakvo njihovo utemeljenje u prirodi. Zato ti savetujem da pronađeš neku drugu, plodotvorniju temu, jer je ova diskusija otprilike na nivou "Zašto su latinična i ćirilična slova baš takva kakva jesu? Zašto su grčka, feničanska bila takva kakva jesu?" Eto, takva su kakva su (može se pratiti njihova grafička evolucija, ali se prvobitni oblik ne može objasniti), i nema tu priče.

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
195.222.97.*

+2790 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{27.04.2009. u 21:04 - pre 182 meseci}

Za početak da naučiš zasnivanje realnih brojeva (kompletno uređeno polje), a potom i dužinu luka. Onda nećeš ni postavljati ovakva pitanja, jer će ti stvari koje te muče biti jasne, a ako i ne budu, drugi će ti ih moći objasniti u par rečenica. Dotle ti ni drugi ne mogu pomoći da shvatiš. No, izbor je tvoj.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.sbb.rs.

+2790 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{28.04.2009. u 08:01 - pre 182 meseci}

Da se nadovežem na Farenhajta.

Matematika ne tvrdi da će zrela kruška da padne ko zrela kruška, već da su neki stavovi posledice nekih aksioma. To znači da u bilo kakvom modelu, koliko god on bio "veštački", čudan itd., u kome važe sve aksiome, nužno važe i sve posledice tih aksioma i na taj način se matematika primenjuje. Broj 5 ne mora biti apstraktan. Možemo i drvo pored naše kuće smatrati realizacijom broja 5. Bitno je da na nekom skupu objekata (stvarnih ili misaonih) ispostavimo operacije i relacije tako da budu zadovoljene sve aksiome na primer Peanove aritmetike i onda će u tom modelu (tj. interpretaciji polaznih pojmova) nužno važiti i sve teoreme Peanove aritmetike.

Primera radi, programeri ne mogu da primenjuju formule iz matematike koje se odnose na realne brojeve direktno i neoprezno, jer računarska realizacija realnih brojeva ne odgovara u potpunosti tom matematičkom pojmu (nisu zadovoljene aksiome u punom smislu), već moraju voditi računa o specifičnostima računarske realne aritmetike.

Drugo, što sam već pomenuo, matematički stavovi važe u kontekstu u kome su formulisani, a koji je određen definicijama. Doke ne budeš naučio te definicije, nećeš razumeti ni kontekst tih stvavova, pa će te mučiti ovakve stvari.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

galet@world

Član broj: 81985
Poruke: 1076
*.adsl-a-2.sezampro.yu.

+3 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{29.04.2009. u 07:20 - pre 182 meseci}

Citat:

galet@world: U nemogućnosti da odgovorite na ovo:

1. Ako su kružnice jednake onda se tačke kružnica poklapaju, zar ne?
2. Ako se tačke kružnica ne poklapaju onda kružnice nisu jednake.
Tačke kružnica se ne poklapaju jer je presecajuća kružnica bila između njih.

počeli ste da mi se obraćate lično sa preporukom o obrazovanju koja nema osnov jer vi ste tu
obrazovani pa ipak nemate odgovor.

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.sbb.rs.

+2790 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{29.04.2009. u 07:55 - pre 182 meseci}

Hajde da se više ne igramo žmurke. Ti ova pitanja nisi postavio da bi ti neko nešto objasnio, već da bi ti drugima objasnio neke stvari. Zato i odbijaš da pročitaš ono što ti se preporučuje i doživljavaš to lično.

Evo, obećavam da ću ti lično ja odgovoriti na sva pitanja iz ove teme čim naučiš kopmpletno uređeno polje (zasnivanje realnih brojeva). Dotle možeš da očekuješ svu pomoć u vezi savladavanja kompletnog uređenog polja. Bez toga ovakve diskusije nemaju nikakvog smisla.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.dynamic.sbb.rs.

+2790 Profil

Re: Dužina kružnice „iznutra“ i „spolja“

^{29.04.2009. u 07:59 - pre 182 meseci}

Da dodam. Treba savladati i pojmove supremuma, infimuma i limesa. I tu možeš očekivati svu pomoć, pa kad to savladaš, dobićeš i odgovore na sva pitanja iz ove teme. Verovatno ćeš ih onda znati i sam, ali eto, daću ih ja ako ih budeš tražio.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.