Hevisajdova funkcija je neprekidna u svim tackama osim u jednoj, u cijoj je okolini ogranicena, iz cega sledi da je lokalno integrabilna. Odatle sledi da ona indujuje je jednu regularnu distribuciju.
.
Citat:
petarm: Mozes li ovo pokazati?
Neka je
trazena funkcija i neka je segnemt
takav da ne sadrzi nulu. Neka je
i
. Skup
je merljiv, jer je funkcija
merljiva kao lokalno integrabilna. Stoga, za svako
postoji zatvoren skup
takav da je
. Taj skup je kao zatvoren i ogranicen kompaktan. Takodje, postoji otvoren skup
takav da je
. Bez umanjenja opstosti mozemo jos pretpostaviti da je
,
i da
. U knjizi "Parcijalne jednacine" Boska Jovanovica se moze naci primer funkcije
takve da je
,
za
i
za
.
Posto je
lokalno integrabilna funkcija, vazi
, pa posto je
i
skoro svuda, gde je
funkcija koja je jednaka jedinici u tackama skupa
,a u ostalim tackama je jednaka nuli, Lebegov stav o dominantnoj konvergenciji se moze primeniti, pa je
.
Sa druge strane je
,
sto je zbog lokalne integrabilnosti funkcije
za dovoljno veliko
manje od zadatog
. No, zajedno sa
odatle sledi da je
za dovoljno veliko
, pa je
. Posto je
proizvoljno, odatle sledi (zbog
) da je
.
Znaci, za svako
vazi da je
, pa je i skup
mere nula kao prebrojiva unija skupova mere nula. No, segment
je bio proizvoljan segment koji ne sadrzi nulu, pa posto je
prebrojiva unija takvih intervala, bice
skoro svuda na
, pa samim tim i na skoro svuda na
jer je jednoclan skup mere nula. Na slican nacin se moze dokazati i da je
skoro svuda, odakle je
skoro svuda za ma kakvu funkciju
odakle je
suprotno polaznoj pretpostavci.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Limes u prostoru distribucija
?
Ima dosta pretpostavki. Prva je da vazi Fubini...
