Par zadataka iz analize I

Par zadataka iz analize I 16.05.2007. u 15:21 · pre 237 meseci #1

Pošto vidim da je od Nove Godine naovamo na ovom forumu postalo jako dosadno, odličio sam da malo razbijem monotoniju.

Evo par zadataka iz knjige "Matematička Analiza I" akademika Milosava Marijanovića za one koji nađu da su im zanimljivi:

1. Neka je $f:R\longrightarrow R$ diferencijabilna funkcija koja ima barem jednu nulu. Dokazati da tada postoji rešenje jednačine $f(x)+xf'(x)=0.$

2. Neka su $a,b$ realni brojevi za koje je $a<b$ i $f:(a,b)\longrightarrow R$ fiferencijabilna funkcija za koju važi $f(a_+)=+\infty),$ $f(b_-)=-\infty$ i $f'(x)+(f(x))^2\geq -1$ za sve $x\in(a,b).$ Dokazati da je $b-a\geq\pi.$

3. Neka je $f:R\longrightarrow R$ dva puta neprekidno diferencijabilna funkcija za koju važi $|f(x)|\leq 1$ i $(f(0))^2+(f'(0))^2=4.$ Dokazati da jednačina $f(x)+f''(x)=0$ ima rešenje.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Par zadataka iz analize I 17.05.2007. u 10:27 · pre 237 meseci #2

Ako me oči ne varaju ovde ima $3\choose 2$ para zadataka

Zbog preglednosti, pisaću rešenja u odvojenim porukama.

1.

Neka je za neko $a\in\textbf{R}$ $f(a)=0$ .

Prvi slučaj: $a=0$ , onda trivijalno važi $f(0)+0\cdot f^\prime(0)=0$

Drugi slučaj: $a\neq 0$ , onda posmatramo pomoćnu f-ju $g(x):=xf(x)$ koja će imati makar dve nule ( $a$ i $0$ ). Ako sa $\mathrm{I}[0,a]$ označimo zatvoreni interval čije su krajnje tačke $0$ i $a$ , odmah vidimo da restrikcija f-je $g$ na taj interval ispunjava uslove Rolove teoreme pa mora postojati neko $\alpha\in\mathrm{I}(0,a)$ za koje je $g^\prime(\alpha)=0$ , što je i trebalo pokazati.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: Par zadataka iz analize I 17.05.2007. u 10:51 · pre 237 meseci #3

2.

Posmatrajmo pomoćnu f-ju $g(x):=\mathrm{arctg}f(x)$ .

Iz uslova zadatka imamo da je $g^\prime(x)=\frac{f^\prime(x)}{1+f^2(x)}\ge -1$ ,
sada, budući da $g$ ispunjava uslove Lagranžove teoreme na svakom segmentu $[x,y]$ ( $a<x<y<b$ ), imamo:

$\lim_{x\to a_+}\lim_{y\to b_-}\frac{g(x)-g(y)}{x-y}\ge -1$

pa na osnovu neprekidnosti f-je $g$ sledi ${\pi\over a-b} \ge -1$ . QED

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: Par zadataka iz analize I 17.05.2007. u 13:40 · pre 237 meseci #4

Lepo, samo što je ${3\choose 2}\neq\frac 32$ i što nema rešenja trećeg zadatka.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme