Registracija

Nejednakosti matematickih sredina

Odgovori Nova tema

1 odgovor
5.451 pregleda

Nejednakosti matematickih sredina 15.10.2006. u 08:14 · pre 244 meseca #1

Za realne pozitivne brojeve a,b, i c dokazati da vazi nejednakost:

a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 3/2

-----------------------------------------------

Po mom misljenju zadatak treba raditi preko nejednakosti aritmeticke, geometrijske, kvadratne i harmonijske sredine.
jedini problem je da ne znam koje 2 da kombinujem u prvom slucaju, a koje dve u drugom.

Moze li pomoc?

P.S.

Hn - Harmonijska sredina
Gn - Geometrijska sredina
An - Aritmeticka sredina
Kn - Kvadratna sredina

Hn <= Gn <= An <= Kn

Hn = n / (1/a1 +1/a2 +1/a3 + ... +1/an)
Gn = n-ti koren(a1*a2*a3...*an)
An = (a1+a2+a3+...+an) / n
Kn = sqrt ( ( sqr(a1) + sqr(a2) + sqr(a3) + .... + sqr(an) ) / n )

Potpis

Novac za kola se mora doneti do kraja decembra, znači do 5. decembra.
Posle pada Jakubinaca na vlast dolazi Petar Pan! :)

Re: Nejednakosti matematickih sredina 15.10.2006. u 09:42 · pre 244 meseca #2

Ovo je inace poznata Nesbit-ova nejednakost koja se moze pokazati da razne nacine. Evo jednog resenja koje nije elemenatarno.

Kako je nejednakost homogena to mozhemo uzeti da je $a+b+c=1$ (obicna smena $a:=\frac{a}{a+b+c}$ ), pa se nejdnakost svodi na $\sum{\frac{a}{1-a}}\geq \frac{3}2$ . Uoicmo da je funkcija $f(x)=\frac{x}{1-x}$ na $(0,1)$ strogo konveksna, pa iz Jensenove nejednakosti dobijamo da je
$\sum{\frac{a}{1-a}}\geq 3f(\frac{1}{3})=\frac{3}2$ , shto je i trebalo dokazati. Znako jednakosti vazhi ako i samo ako je $a=b=c$ .

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme