[es] - Interno prvi razred

qzqzqz

Član broj: 66936
Poruke: 219
*.ptt.yu.

Profil

^{24.12.2005. u 16:38 - pre 223 meseci}

Evo zadataka sa internog takmicenja u Mg koje je odrzano danas. Zadaci su se radili 4h

1.razred

1.Koliko ima desetocifrenih brojeva ciji je zbir cifara 3?

2.Dokazati da postoji prirodan broj

takav da se u zapisu broja

nalazi 2005 uzastopnih nula?

3.U svako polje tabele 2005 puta 2005 upisan je jedan od brojeva +1 ili -1. Za svaku vrstu i svaku kolonu sracunat je proizvod svih brojeva u njoj. Moze li zbir tako dobijenih 4010 proizvoda biti jednak 0?

4.Ako su

prirodni brojevi veci od 1 takvi da je

dokazati da je

slozen broj.

5. Na stranicama AC i BC trougla ABC izabrane su tacke M i N, takve da je AM=BN. Dokazati da je prava koja prolazi kroz sredista duzi AN i BM normalna na simetralu ugla ACB.

Ko voli da resava neka napise svoje ideje. Inace zzadaci su po meni pre za 7. razred OS nego za prvi.

Odgovor na temu

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
62.193.129.*

+6 Profil

Re: Interno prvi razred

^{25.12.2005. u 06:08 - pre 223 meseci}

1. Moguća su četiri slučaja:

a) Prva cifra je 1, dve od preostalih 9 su takođe 1, ostalo su 0. Takvih ima

=36;
b) Prva cifra je 1, jedna od preostalih 9 je 2, ostalo su 0. Takvih ima 9;
c) Prva cifra je 2, jedna od preostalih 9 je 1, ostalo su 0. Takvih ima 9;
d) Prva cifra je 3, ostalo su 0. Takav postoji 1.

Ukupno 36+9+9+1=55.

3. Označimo proizvode po vrstama sa

, a proizvode po kolonama sa

. Pretpostavimo da je

. Tada tačno 2005 od tih 4010 sabiraka mora biti jednako 1, a preostalih 2005 mora biti jednako -1. Označimo sa

broj negativnih

-brojeva, a sa

broj negativnih

-brojeva. Prema prethodno rečenom,

.

Ako izmnožimo sve

-brojeve, dobićemo proizvod svih brojeva u tabeli, a taj proizvod očito iznosi

. Slično, ako izmnožimo sve

-brojeve, opet dobijamo proizvod svih brojeva u tabeli, a u tom slučaju taj proizvod iznosi

.

Međutim, brojevi

ne mogu biti jednaki, jer je njihov proizvod

. Kontradikcija.

4. Pošto

, sledi da

. Stoga

. Kada bi broj

bio prost, moralo bi da važi

To je, međutim, nemoguće jer je

(pošto

, a

) i

(pošto

, a

).

5. Neka je AM=BN=d, neka su uglovi trougla

, neka je F središte stranice AB, neka je CK visina trougla ABC, neka simetrala ugla ACB seče pravu PQ u tački R i neka prava PQ, ukoliko nije paralelna pravoj AB, seče ovu u tački T (pri označavanju će se podrazumevati da je A između T i B). Tada je FQ srednja linija trougla ABM, pa je FQ=AM/2=d/2, a FP je srednja linija trougla ABN, pa je FP=BN/2=d/2. Dakle, trougao FPQ je jednakokrak. Pošto je

QFB=

CAB=

PFA=

CBA=

, sledi da je

PFQ=

, pa je

QPF=

. Pošto je to istovremeno spoljašnji ugao trougla PTF, sledi da je

PTF=

QPF-

PFT=

. S druge strane,

ACK=

, a

ACR=

, pa je

KCR=

ACR-

ACK=

. Sledi da su uglovi PTF i KCR jednaki, pa pošto su im kraci CK i AB uzajamno normalni, takvi moraju biti i kraci CR i PQ.

Ako tačka T ne postoji, tj. ako je prava PQ paralelna pravoj AB, sledi da je

QPF=

PFA, tj.

odn.

. Dakle, trougao ABC je jednakokrak s temenom u C, pa mu je visina na osnovicu istovremeno i simetrala temenog ugla, te je u tom slučaju simetrala ugla ACB normalna na pravu PQ jer je normalna i na pravu AB.

_{[Ovu poruku je menjao Farenhajt dana 25.12.2005. u 09:15 GMT+1]}

Odgovor na temu