[Zadatak]: Pokrivanje prostora kružnicama

Da li je moguće predstaviti prostor kao disjunktnu uniju kružnica?

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Lema
Neka je dat krug i u njemu tangentni krug koji ga dodiruje u tački . Ako je data tačka na kružnici , onda je , gde je tačka preseka duži sa krugom .

Dokaz.

Posmatrajmo trouglove i . Neka je , onda lako sledi:
i .

Sada možemo da se pozabavimo i samim zadatkom.
Neka je dat Dekartov pravougli koordinatni sistem.

Ideja koja verovatno svakom odmah pada na pamet, je da se pokuša ovako:
u svakoj ravni , napravimo koncetrične kružnice , , pri čemu je .
Vidimo da smo pokrili sve tačke prostora (na zahtevani način), osim linije , .

Sada ću pokušati da opišem način na koji bi se ovaj metod mogao prepraviti tako da pokrijemo i pomenutu liniju.
Izaberimo proizvoljno .
Postavimo sada otvorene kugle , gde je , .
Ako bi nam pošlo za rukom da ispunimo kugle nepresecajućim krugovima, problem bi nam pravile još samo tačke , , jer bi ostatak prostora popunili već opisanim postupkom:
dakle svaku od ravni , bi ispunili koncentričnim kružnicama sa centrom u i poluprečnicima , gde je .

Sada ćemo videti da je zaista moguće ispuniti date kugle nepresecajućim krugovima, a pokazaće se i da će onaj problem sa tačkama biti rešen "sam od sebe"
Radi jednostavnosti pokazaćemo da to važi za kuglu .

Presecimo kuglu sa ravni i dobili smo otvorenu kružnu površ (tj. kružnu površ kojoj fali odgovarajuća kružna linija - ).
Uočimo sada tangentni krug , gde je .
Sada možemo videti, koristeći oznake kao u Lemi, da se polazna kugla može dobiti kao unija:
kružnice bez tačke dodira i
svih kružnica , , a gde je , tačka sa kružnice takva da je .

Jasno, je da ako u uniji umesto uzmemo samo , imamo rešene sve probleme.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Ali te kruznice nisu disjunktne. Mozda te nisam lepo shvatio, da li bi mogao da nacrtas neku prostu sliku i da zakacis?

Zaista sam zaboravio da napomenem u kojoj ravni bi ležale te kružnice.
Za fiksirano , kad pustimo da se "šeta" po skupu , birali bismo koncentrične kružnice koje sve leže na ravni (normalnoj na ravan a dobijenoj rotacijom ravni oko ose :,, za ugao ).

E sad, te ravni se seku samo po osi , pa kako poluprečnik krugova nikad ne dostiže možemo biti sigurni da neće doći do međusobnih preseka.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Rešenje je OK, mada nešto drugačije od onog koje sam ja imao u vidu. Preskočiću detaljisanje i dati samo smernice, ako neko želi naravno slobodan je da pita za dodatno pojašnjenje.

Odaberimo jednu ravan i nacrtajmo celobrojnu mrežu u njoj (sa proizvoljno odabranom mernom jedinicom). Nacrtajmo kružnice jediničnog poluprečnika sa centrima u tačkama , gde je . Svaka sfera sa centrom u koordinatnom početku seče uniju ovih kružnica u tačno dve tačke, i sve što preostaje da primetimo je da se svaka sfera bez svoje dve tačke može predstaviti kao disjunktna unija kružnica.

E sad da se pozabavimo uopštenjem zadatka. Postavlja se pitanje može li se prostor predstaviti kao disjunktna unija međusobno podudarnih kružnica? Znam odgovor sa dokazom, ali dok ga ne iskucam (za šta mi treba malo vremena) voleo bih da čujem još nečije mišljenje.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Odgovor na postavljeno pitanje je da. Štaviše, dokazaćemo još opštije tvrđenje koje izgleda zaista neverovatno. Odmah da napomenem da će ovo verovatno biti jedan od najkonfuznije napisanih dokaza koje ste ikada videli, ali "sreća prati hrabre" ;), a za one koji uspeju da pročitaju ove moje baljezgarije sam spreman da dodatno pojasnim sve detalje koji im ne budu sasvim jasni. Pa, da krenemo.

Teorema:
Neka je skup kardinalnosti (kontinuum), i neka je familija pozitivnih realnih brojeva. Tada postoji familija disjunktnih kružnica čija je unija prostor , takva da je, za svako , poluprečnik kružnice jednak .

Najpre nam treba jedno pomoćno tvrđenje.

Lema:
Neka je familija kružnica u prostoru takva da je . Neka je proizvoljna tačka prostora koja ne pripada skupu . Tada, za svaki pozitivan realan broj postoji kružnica koja ispunjava sledeće uslove:
1) ;
2) poluprečnik kružnice jednak je ;
3) .

Dokaz:
Za svako neka je ravan koja sadrži kružnicu . Pošto je , postoji ravan koja sadrži tačku i koja se ne poklapa ni sa jednom ravni . Primetimo da za tu ravan važi (ukoliko bi sadržala tri tačke neke kružnice onda bi sadržala i celu tu kružnicu, pa bi se poklapala sa ravni što je u suprotnosti sa definicijom ravni ). Neka je . Iz prethodne činjenice sledi da je , a takođe važi i . Sada možemo zaključiti da postoji kružnica poluprečnika koja sadrži tačku i koja ne seče . Zaista, kružnica koje prolaze kroz tačku i pripadaju ravni ima kontinuum mnogo, a tačaka iz skupa ima manje, i pri tome svaka takva tačka može da "ubije" najviše dve od ovih kružnica.
Očigledno, kružnica ispunjava uslove Leme. Prelazimo na dokaz Teoreme.

Dokaz:
Neka je najmanji ordinal kardinalnosti . Bez umanjenja opštosti, možemo pretpostaviti da je . Neka je injektivna familija svih tačaka prostora . Sada možemo konstruisati (metod koji ćemo koristiti naziva se transfinitna rekurzija) familiju kružnica koja zadovoljava sledeće uslove:
a) za sve imamo ;
b) za sve poluprečnik kružnice jednak je ;
c) za sve tačka pripada skupu .
Pretpostavimo da je za neko već definisana neka (delimična) familija kružnica . Naravno, . Neka je proizvoljna tačka ove razlike. Označimo . Sada na osnovu Leme primenjene na tačku i familiju zaključujemo da postoji kružnica poluprečnika koja sadrži tačku i disjunktna je sa familijom . Neka je . Na ovaj način moći ćemo da konstruišemo željenu particiju prostora .

Sad možete da odahnete :) Dokaz nije u potpunosti moj jer sam ideju "ukrao" iz dokaza jedne druge particije pa sam samo isto iskoristio i ovde, i ako vam se čini složen da znate da onaj koji sam kopirao usput koristi i prostor koji sam ja ovde nekako uspeo da izbegnem.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Bojane, svaka čast na oba rešenja!

Moram da primetim, da je za razliku od tvog rešenja prvog problema (koje je vrlo elegantno ali koje sam imao problema da shvatim ), rešenje jačeg tvrđenja skoro sasvim "straitforward"

Baš čudno, jel da?

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

I nije toliko čudno, pošto je matematika koja je upotrebljena prilikom rešenja specijalnog slučaja prilično prizemnija od ove koji smo koristili u opštem tvrđenju, pa donekle logično izgleda da teži matematički aparat ide više pravolinijski nego lakši. Drugo, a takođe bitno, je što smo za specijalan slučaj eksplicitno naveli jednu particiju (odnosno dve, jednu ti i jednu ja), dok smo prilikom opšteg dokaza samo dokazali da postoji. Koliko sam informisan, još uvek se ne zna kako izgleda čak ni particija gde su sve kružnice podudarne, a izvesno je da će još mnogo vode proteći ovuda pre nego što bude pronađen algoritam koji će za proizvoljno date poluprečnike naći particiju koja baš njima odgovara. No, to što znamo da postoji je svakako jedan korak u tom smeru :)

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Meni je zanimljivo i to što sve navedene particije u stvari zahtevaju kontinuum mnogo koraka () - pa faktički (ako zanemarimo lakoću vizualizacije) nisu ništa bolje od algoritma datog za dokaz egzistencije - šta više, u tom smislu i taj algoritam je "konstruktivan"

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Naravno, ne možeš pokriti prostor sa manje od kontinuum kružnica, pa ti svakako treba toliko koraka. Međutim, ona razlika koju sam pomenuo ne odnosi se na lakoću vizuelizacije nego u konstruktivnog slučaju znamo tačan opis svake kružnice (koordinate centra, poluprečnik, i ravan u kojoj se nalazi), dok u ovom opštem ne znamo.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Ako sam sve dobro shvatio, ta prividna neodređenost je u stvari posledica toga što algoritam daje opis svih mogućih konstrukcija. Ako bi posle svakog načinjenog izbora "zabeležili" centar i ravan, onda bi imali situaciju kao i u običnim konstrukcijama. Naravno, potpuno si u pravu da te podatke u opštem slučaju (verovatno) ne bi mogli da opišemo nekom zatvorenom formulom. (Prokleta aksioma izbora )

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Baš to je ono što nam sreću kvari, ali da nije nje ne bi postojalo ni dve trećine matematike. Eto, složismo se :)

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Meni je ovdje sve napisano kao da je na kineskom.Može biti da me je vrijeme
pregazilo pa ne znam novu terminologiju.
Pa ako Bojanu nije teško nek objasni šta znači koja riječ u onom pitanju.
1) "predstaviti"-?-Da li je to isto što i pokriti,poklopiti,popuniti ?
2) "prostor"-?-Misli li se na geometrijski pojam ravne plohe,neke zakrivljene plohe,
trodimenzionalnog prostora ili nešto drugo?
3) "kružnica"-?-Da li je to zatvorena linija u ravni kojoj su sve tačke jednako udaljene od centra?

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

1) "predstaviti" = pokriti, poklopiti, popuniti;
2) "prostor" = geometrijski pojam trodimenzionalnog prostora;
3) "kružnica" = zatvorena linija u ravni kojoj su sve tačke jednako udaljene od centra.

Sad je valjda jasnije :)

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Par pitanja od onih koji se ne bave matematikom.

Sta to znaci? Da li mozes da ostavis primer takvog ordinala? Ili npr. najmanji ordinal kardinalnosti ili neke druge kardinalnosti? Sta tacno znaci ordinal neke kardinalnosti?

Ajde da pokušam da objasnim, mada je dosta teško ovako od nule pa ako ti nešto ne bude jasno slobodno dodatno pitaj.

Neka su i dva dobra uređenja (totalno uređenje je dobro ako svaki njegov neprazan podskup ima najmanji element). Za njih se kaže da imaju isti tip uređenja akko postoji bijekcija iz u takva da za sve važi . Dakle, sva dobra totalna uređenja možemo razvrstati u neke kategorije tako da elementi svake kategorije međusobno imaju isti tip uređenja. Predstavnik jedne takve kategorije naziva se ordinalni broj ili skraćeno ordinal. Dakle, ordinal je zapravo neki dobro uređen skup. Prvih nekoliko ordinala se označava ovako:






Tako ćemo iscrpeti sve konačne ordinale. Prvi sledeći se najčešće obeležava sa i predstavlja skup svih konačnih ordinala, odnosno . To je najmanji ordinal kardinalnosti , ali ima ih još. Sledeći je , pa zatim i tako dalje, i svi su oni prebrojivi, tj. kardinalnosti . Neki ordinal naziva se početni ili inicijalni (nisam siguran da li se baš ovako kaže na srpskom jeziku) ako svi ordinali manji od njega imaju i manju kardinalnost. Znači, od do sada nabrojanih inicijalni su svi konačni i . Sledeći inicijalni je , što je zapravo skup svih konačnih i prebrojivih ordinala (tj. , i on ima kardinalnost . Njegov sledbenik je, naravno, , pa zatim i tako dalje. Sledeći skok je do što je zapravo skup svih ordinala koji su bilo konačni, kardinalnosti , ili kardinalnosti . Tako možemo da se igramo dokle hoćemo, pa kad sve to završimo onda ćemo naleteti na što je skup svih konačnih ordinala i onih kardinalnosti za ma koji nenegativan ceo broj , i da ne nastavljam dalje jer je možda i ovo više nego što nam treba. Bitno je upamtiti da svaki možemo predstaviti kao uniju svih manjih od njega (što je jednom prilikom i rečeno u dokazu).

Nekoliko puta sam pomenuo da je jedan ordinal manji od drugog bez objašnjenja šta to znači jer smatram da je intuitivno jasno. Ipak, napisaću preciznije, potpunosti radi. akko ima isti tip uređenja kao neki početan podskup od . Svaka dva ordinala su ili jednaka ili je jedan manji od drugog (tj. skup svih ordinala je totalno uređen). Osim toga, definišu se i operacije nad ordinalima kao što su sabiranje, množenje, stepenovanje, ali to već nije tema ovde. Ipak, ako želiš da kažem nešto više i o tome rado ću objasniti.

I za kraj, ne mogu da ostavim primer ordinala kardinalnosti (pa ni najmanji takav ordinal) jer se još uvek ne zna gde zapravo spada u gore navedenom spisku. Hipoteza kontinuuma kaže da je , ali to je nemoguće ni dokazati ni opovrgnuti, a matematičari nikako da se dogovore da li da je prihvate kao takvu ili da prihvate njenu negaciju. No, to što ne znamo kako izgleda nas ne sprečava da koristimo postojanje u zadacima, kao što sam i ja uradio.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Hvala, sve je jasno.

Da, malo sam u ovih pola sata pre nego sto si napisao odgovor pogledao na internetu u vezi sa ordinalima i video da dobra uredjenost skupa kardinalnosti (sto si ti koristio) sledi iz aksiome izbora ali da se ne zna kako ta uredjenost izgleda jer svi dokazi koji koriste aksiomu izbora nisu konstraktibilni.


U principu nema veze sa ovim zadatkom jer si ti uvek koristio skupove kardinalnsti ili manje kardinalnosti, nisi pominjao , .

Zanima me sta bi donelo matematici prihvatanje ili odbijanje hipoteze kontinuuma? Prihvatanje aksiome izbora (ili pak njeno odbijanje) ipak donosi zaista dosta stvari a da li to isto vazi i za hipotezu kontinuuma pa da je bitno da se matematicari dogovore oko toga?