Dva problematicna zadatka

Dva problematicna zadatka 23.10.2005. u 14:55 · pre 256 meseci #1

Nikako ne mogu da ih resim, pa nek' pomogne ko zna:

1. Dat je tetraedar kome je duzina tacno jedne ivice veca od 1. Dokazati da zapremina tetraedra nije veca od $\frac{1}{8}$ .

2. Dat je tetraedar $ABCD$ . Teme $D$ je spojeno sa proizvoljnom tackom $D_1$ trougla $ABC$ . Kroz tacke $A,B,C$ konstruisane su prave paralelne sa $DD_1$ , cije su presecne tacke sa naspramnim stranama $A_1,B_1,C_1$ , tim redom. Dokazati da je zapremina tetraedra $ABCD$ tri puta manja od zapremine tetraedra $A_1B_1C_1D_1$ .

Re: Dva problematicna zadatka 25.10.2005. u 11:16 · pre 256 meseci #2

Prvi zadatak je bio na 9. matematickoj olimpijadi, koja je odrzana na Cetinju.

Ovde mozes da pogledas resenje:
http://www.imo-register.org.uk/1967-report-st.html

Re: Dva problematicna zadatka 02.12.2005. u 20:14 · pre 255 meseci #3

Evo rešenja i drugog zadatka (mada nije naročito elegantno).

Pošto $D\in ABC$ zaključujemo da postoje realni brojevi $a,b,c$ takvi da važi $(a+b+c)\overrightarrow{DD_1}=a\overrightarrow{DA}+b\overrightarrow{DB}+c\overrightarrow{DC}$ . Pošto je $AA_1\parallel DD_1$ sledi da je $\overrightarrow{AA_1}=k\overrightarrow{DD_1}$ za neko $k\in R$ . Imamo da je $\overrightarrow{DA_1}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{DA}+k\overrightarrow{DD_1}=\frac{a+b+c+ka}{a+b+c}\overrightarrow{DA}+\frac{kb}{a+b+c}\overrightarrow{DB}+\frac{kc}{a+b+c}\overrightarrow{DC}$ . Međutim, zbog $DA_1\in BCD$ imamo da je $\overrightarrow{DA_1}$ linearna kombinacija $\overrightarrow{DB}$ i $\overrightarrow{DC}$ , pa je $a+b+c+ka=0$ , tj. $k=-\frac{a+b+c}a$ . Izvodimo $\overrightarrow{DA_1}=-\frac{b\overrightarrow{DB}+c\overrightarrow{DC}}a$ . Slično, $\overrightarrow{DB_1}=-\frac{a\overrightarrow{DA}+c\overrightarrow{DC}}b$ i $\overrightarrow{DC_1}=-\frac{a\overrightarrow{DA}+b\overrightarrow{DB}}c$ . Sada je $\overrightarrow{D_1A_1}=\overrightarrow{D_1D}+\overrightarrow{DA_1}=-\frac{a\overrightarrow{DA}+b\overrightarrow{DB}+c\overrightarrow{DC}}{a+b+c}-\frac{b\overrightarrow{DB}+c\overrightarrow{DC}}a=-\frac{a^2\overrightarrow{DA}+b(2a+b+c)\overrightarrow{DB}+c(2a+b+c)\overrightarrow{DC}}{a(a+b+c)}$ . Slično je i $\overrightarrow{D_1B_1}=-\frac{a(a+2b+c)\overrightarrow{DA}+b^2\overrightarrow{DB}+c(a+2b+c)\overrightarrow{DC}}{b(a+b+c)}$ i $\overrightarrow{D_1C_1}=-\frac{a(a+b+2c)\overrightarrow{DA}+b(a+b+2c)\overrightarrow{DB}+c^2\overrightarrow{DC}}{c(a+b+c)}$ . Pošto je $V_{D_1A_1B_1C_1}=\frac{|\overrightarrow{D_1A_1}\cdot(\overrightarrow{D_1B_1}\times \overrightarrow{D_1C_1})|}6$ i $V_{DABC}=\frac{|\overrightarrow{DA}\cdot(\overrightarrow{DB}\times \overrightarrow{DC})|}6$ , malo računanja sa determinantama vodi nas do

$V_{D_1A_1B_1C_1}=\frac{\left|\left|\begin{array}{ccc} a^2&b(2a+b+c)&c(2a+b+c)\\ a(a+2b+c)&b^2&c(a+2b+c)\\ a(a+b+2c)&b(a+b+2c)&c^2\end{array}\right|\right|}{6abc(a+b+c)^3}=3V_{DABC}$

što je i trebalo dokazati.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Dva problematicna zadatka 03.12.2005. u 15:01 · pre 255 meseci #4

Hvala vam!

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme