zadatak iz algebre, hitno

zadatak iz algebre, hitno 14.12.2005. u 03:55 · pre 254 meseca #1

Molim vas,
treba mi pomoc! (neka ideja za bilo koji od sledecih zadataka, neki hint, bilo sta...)

1. Neka su f i g uzajamno prosti polinomi sa kompleksnim koeficijentima ciji su stepeni bar 1. Dokazati da je
$deg(f^3 - g^2) \geq \frac{1}{2}deg(f) +1$

2. Proveriti da li je nerastavljiv polinom
$f(x) = x^8 + 4x^6 + 40x^2 + 4$

3. Neka je F polje karakteristike razlicite od 2, E rasirenje od F |E:F| = 2, i
S(E) skup svih elemenata $b$ iz F bez nule takvih da postoji $a \in E : b = a^2$

a) Dokazati da postoji baza od E nad F oblika {1, $a$ } gde je
$a^2 \in F$
b) Ako su L i K rasirenja polja F stepena 2 dokazati da postoji F-izomorfizam polja L i K akko S(L) = S(K)

4. Neka je D $\subseteq \mathbb{C}$ kompaktan povezan skup. Sa H(D) oznacimo skup svih funkcija f za koje postoji neka otvorena okolina od D na kojoj je f holomorfna. Znamo da je H(D) prsten sa standardno definisanim sabiranjem i mnozenjem funkcija. Dokazati da je H(D) glavnoidealski domen

P.S.
U frci sam sa vremenom, trebaju mi do sutra neke smernice. Sutra cu postovati neka moja razmisljanja.
Takodje molim da se ova tema ne brise iz proceduralnih razloga bar do sutra.

Re: zadatak iz algebre, hitno 14.12.2005. u 21:05 · pre 254 meseca #2

Prvi sam resila.

Povodom drugog zadatka:

To je deo nekog zadatka.
Ovaj polinom ponistava broj $a = \sqrt[4]{3} + i$
Treba naci minimalni polinom od $a$ nad $\mathbb{Q}$
Inace, Mathcad kaze da je ovaj nerastavljiv.

E, sad, posto za polinom ne pali ni Ajzenstajn, a probala sam i $f(x + a)$ (bezuspesno),
a deluje mi strasno da pretpostavim da je rastavljiv, pa da ispitujem slucajeve,
mozda moze i nesto drugo:

posto je $\mathbb{Q}(a) = \mathbb{Q}(\sqrt[4]{3}, i)$
vazi $| \mathbb{Q}(\sqrt[4]{3}, i) : \mathbb{Q}| = | \mathbb{Q}(\sqrt[4]{3}, i) : \mathbb{Q}(i)|*|\mathbb{Q}(i) : \mathbb{Q}|$

I sad ovaj $|\mathbb{Q}(i) : \mathbb{Q}|$ je 2 a kako da pokazem da je $| \mathbb{Q}(\sqrt[4]{3}, i) : \mathbb{Q}(i)|$ upravo 4
(jer to ce biti dosta da zakljucim da je bas f minimalni)?

Povodom treceg:

a)
Skup $\{1, a\}$ gde je $a^2 \in F$ jeste linearno nezavisan (lako se pokaze).
Takodje, skup svih linearnih kombinacija od 1 i a tj
$\mathcal{L}\{1, a\} = \{\alpha + \beta a : \alpha , \beta \in F\} \subseteq E$ ocigledno.

Ali kako da pokazem da je i obrnuto, tj da nema elemenata iz E koji nisu generisani sa 1 i a?
Ako uzmem neku drugu bazu za E pa probam da "napakujem" - ne uspeva.

b)
Gledajte smer S(L) = S(K) $\Rightarrow$ postoji F-izomorfizam

Ja nigde ne koristim pretpostavku S(L) = S(K) , a napravim preslikavanje
koje je F-izomorfizam
$\Theta : \alpha + \beta a \mapsto \alpha + \beta b$ gde je
$\{1, a\}$ baza od L a $\{1, b\}$ baza od K

Dakle, sta da radim?

Re: zadatak iz algebre, hitno 22.12.2005. u 19:13 · pre 254 meseca #3

Milice suvise si ti napredna za nas;)

Re: zadatak iz algebre, hitno 22.12.2005. u 20:33 · pre 254 meseca #4

Što se tiče drugog

$[Q(\sqrt[4]3,i):Q]=[Q(\sqrt[4]3,i):Q(\sqrt[4]3)]\cdot[Q(\sqrt[4]3:Q)]$

Pritom je $[Q(\sqrt[4]3):Q]=4$ po Ajzenštajnu, a $[Q(\sqrt[4]3,i):Q(\sqrt[4]3)]\geq 2$ jer $i\not\in R\supseteq Q(\sqrt[4]3).$

Inače, postoji Kronekerov algoritam za utvrđivanje da li je polinom rastavljiv nad Q (odnosno Z) ili ne.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: zadatak iz algebre, hitno 22.12.2005. u 21:13 · pre 254 meseca #5

Nedeljko, kako ide taj Kronekerov algoritam?

Re: zadatak iz algebre, hitno 24.12.2005. u 18:47 · pre 254 meseca #6

Užasno me mrzi da kucam formule na ES. Nadam se da imaš softver za čitanje PDF dokumenata. Algoritam šaljem u prilogu.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

kroneker.pdf55.84k

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme