Verižni razlomak za koren iz 2

Verižni razlomak za koren iz 2 20.10.2005. u 22:41 · pre 256 meseci #1

molim vas možete li mi napisat (i objasnit) verižni(možda se i ne kaže tako, al uglavnom neko čudno ime) razlomak za korijen iz dva????????????????????????
vidim da ste vamo svi neki pametni, pa molim za pomoć!!!!!!!

Re: Verižni razlomak za koren iz 2 20.10.2005. u 22:58 · pre 256 meseci #2

Verižni razlomak koji tražiš je $\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots}}}}}$

Da vidimo zašto je ovo tako (pod pretpostavkom da izraz konvergira). Primeti sledeće:

$A=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots}}}}}=1+\frac{1}{1+\underbrace{1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots}}}}}_{A}}$
odnosno
$A=1+\frac{1}{1+A}$
što je ekvivalentno sa $A^2-2=0$ . Rešenja ove jednačine su $A=\pm\sqrt{2}$ , ali pošto je $A$ očigledno pozitivno vidimo da je njegova vrednost upravo željeno $A=\sqrt{2}$ .

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Verižni razlomak za koren iz 2 26.10.2005. u 21:39 · pre 255 meseci #3

a kako ću ja doć do tog razlomka??????? jel mogu samo nekako preko kvadrata sa stranicom 1 i dijagonale ili se može nekako izračunat bez crtanja??

Re: Verižni razlomak za koren iz 2 26.10.2005. u 23:17 · pre 255 meseci #4

Može se dobiti na sledeći način:
$\sqrt{2}=\lfloor\sqrt{2}\rfloor+\sqrt{2}-\lfloor\sqrt{2}\rfloor=1+\sqrt{2}-1=1+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}-1}}=1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}$
Imenilac ovog razlomka dalje razlažeš na isti način:
$\sqrt{2}=1+\frac{1}{\lfloor\sqrt{2}+1\rfloor+\sqrt{2}+1-\lfloor\sqrt{2}+1\rfloor}=1+\frac{1}{2+\sqrt{2}+1-2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}-1}}}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}$
Produžavamo isti postupak:
$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{\lfloor\sqrt{2}+1\rfloor+\sqrt{2}+1-\lfloor\sqrt{2}+1\rfloor}}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\sqrt{2}+1-2}}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}-1}}}}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}}$
Primeti da ti opet ostaje da rastaviš $\sqrt{2}+1$ , pa kada to rastaviš opet će ti ostati isto, i tako u beskonačnost. Ako ima još nekih nejasnoća slobodno pitaj.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Verižni razlomak za koren iz 2 24.09.2006. u 20:01 · pre 244 meseca #5

Meni nije jasno kako da izracunam jednacinu sa kvadratnim korenom!!!!

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme