Primetimo prvo da ako za neko
važi
, onda je
neparno (jer je
).
Posmatrajmo sada niz
, za
Pogledajmo razliku
.
Traženu jednačinu možemo zapisati kao
, gde smo uzeli da je
. Pošto je desna strana jednaka razlici dva neparna kvadrata, dobijamo da za neko
važi
, tj.
, dakle dovoljno je dokazati da jednačina
ima rešenja po
.
Dokazaćemo da jednačina
ima rešenja za svako
.
Neka je
i neka je
. Pokazaćemo da je
.
Pre svega, jasno je da važi
, jer je
proizvod jednog parnog i jednog neparnog broja.
Dokažimo još i injektivnost f-je
na skupu
.
Neka za neke
važi
, tj.
, odnosno
.
Ako su
i
iste parnosti, onda je broj
neparan, pa mora biti da
, ali pošto je
, važi procena
, pa mora biti
.
Ako
i
nisu iste parnosti, onda je
neparan, pa mora biti
, a to je nemoguće zbog procene
(različita parnost je uzeta u obzir u ovoj proceni).
Pošto je
injektivna to je
, pa iz
i
sledi
a time i samo tvrđenje.
Možemo primetiti još i to da je sada lako pokazati da za dato
postoji beskonačno mnogo prirodnih
za koje važi tvrđenje.
Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.
Jedan zadatak iz teorije brojeva
potpun kvadrat. Dokazati.
Registrovani: 9 ( scoolptor, rafiki, vjova, dragancesu, MartinK2, daca80, djura63, ntesic, Turmen )