Odnos duži i kruga

Odnos duži i kruga 02.07.2005. u 22:53 · pre 259 meseci #1

Ako je data duž sa svojim krajnjim tačkama (x1,y1) i (x2,y2) i krug K poluprečnika r, čiji se centar nalazi u tački O (p,q), koji uslov treba da bude ispunjen da bar jedna tačka te duži pripada krugu K?

Potpis

If you don't live for something, you will die for nothing.

Re: Odnos duži i kruga 02.07.2005. u 23:34 · pre 259 meseci #2

Ja mislim da bi najbrze bilo sledece:

[1] udaljenje duzi od centra je manje ili jednako r

[2'] jedna od krajnjih tacaka duzi pripada krugu
[2"] krajnje tacke su sa razlicitih strana od normale iz centra kruga na duz

Prvi uslov mora da bude ispunje i jedan od ovih drugih dva. I to mislim da je dosta jednostavno. Za [1] imas izvedenu formulu (dokaz je trivijalan) a za [2'] je takodje uslov lak, a za [2"] mislim da je najlakse da to ides preko vektorskog proizvoda (izracunas dva vektorska proizvoda i njihov proizvod treba da je veci od nule)...

Potpis

Math is like love. A simple idea but it can get complicated.

Re: Odnos duži i kruga 03.07.2005. u 16:39 · pre 259 meseci #3

Mislim da bi moglo ovako
Pošto je jednačina kruga:

(x – p)**2 + (y – q)**2 = r**2

a jednačina prave kroz dve tačke:

y - y1 = (x - x1)(y2 - y1)/(x2 - x1)

ako postoji rešenje to sistema jednačina, onda parava u krućnica imaju zajedničkih tačaka, a ako ne nemaju.

I onda, proveriti da li se te tačke koje pripadaju pravoj, nalaze u delu koji se odnosi na duž.

_{[Ovu poruku je menjao tiranin dana 03.07.2005. u 19:34 GMT+1]}

Re: Odnos duži i kruga 05.07.2005. u 22:23 · pre 259 meseci #4

Ako su poznate tačke A( $x_1,y_1$ ) i B( $x_2,y_2$ ), proizvoljna t-ka M $\in \overline {AB}$ ima koordinate M(x, y)
$x=x_1+t(x_2-x_1)\quad y=y_1+t(y_2-y_1) \quad t\in [0,1]$

Formirajmo f-ju kvadrata razdaljine

$f(t)=(x-p)^2+(y-q)^2$

Tada je
$f'(t)=2(t((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)-((x_2-x_1)(p-x_1)+(y_2-y_1)(q-y_1)))$

Ako je
$(x_2-x_1)(p-x_1)+(y_2-y_1)(q-y_1)\le 0$ onda je $f'(t)>0,\quad t\in [0,1]$ , pa je f_min=f(0).

Ako je
$(x_2-x_1)(p-x_1)+(y_2-y_1)(q-y_1)\ge (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$ onda je $f'(t)<0,\quad t\in [0,1]$ , pa je f_min=f(1).

Ako nije ni jedno ni drugo onda je f_min=f(t₀), gde je
$t_0=\frac{(x_2-x_1)(p-x_1)+(y_2-y_1)(q-y_1)}{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Ako je f_min>R², onda duž i krug nemaju zajedničkih tačaka.

Ako je f_min=R², onda duž i kružna linija imaju tačno jednu zajedničku tačku.

Ako je f_min>R², onda duž i krug imaju zajedničkih tačaka.

Srodne teme