Ovaj treći je jako teško dokazati bez slike. :)
Ipak ću pokušati.
Neka su K(ABCD)=K i L(A1B1C1D1)=L 2 proizvoljna kvadrata, od kojih K ima kraću osnovicu. Ako razrežemo kvadrat L po dijagonalama, dobićemo 4 podudarna jednakokrako -- pravougla trougla, sa oštrim uglom od 45 stepeni.
Neka je S presek dijagonala kvadrata L.
Ako nanesemo redom na stranice AB, BD, DC i CA dobijene trouglove, tako da se AB i A1B1 nalaze na istoj pravoj i A kongruentno sa A1 (slično za preostale parove trouglova i stranica), spajanjem temena trouglova S (kojih sada ima 4, jer je to tačka kojom smo označili presek dijagonala), dobićemo traženi kvadrat. Drugim rečima, rezanjem trouglova po pravama koje su odredjene sa po dve susedne tačke S (radi lakšeg snalaženja -- S1, S2, S3, S4) i ubacivanjem dobijenih parčadi iz spoljašnjosti četvorougla S1S2S3S4 u njegovu unutrašnjost, dobićemo kvadrat, odnosno, četvorougao ispada kvadrat.
Da bismo ovo dokazali, označimo presek duži S1S2 i A1B1 sa E, a presek duži S1S4 i C1D1 sa F. (C1D1 seče A1B1 u tački A, koja je kongruentna sa A1)
Trouglovi S1EB1 i BES2 (B je na stranici A1B1) su podudarni (stav USU) , takođe i parovi trouglova S4C1F i FA1S1 , FA1S1 i BES2.
Naime, ugao EBS2 = ugao EBD - ugao DBS2= 45 = ugao S1EB1. Kako prava određena tačkama B i B1 seče prave određene tačkama S1 i B1 B i S2, sledi da su stranice S1B1 i BS2 paralelne (naizmenični uglovi su jednaki). Uglovi BS2E i ES1B1 su jednaki, takođe kao naizmenični. S1B1 i BS2 su kao stranice jednake.
Slično za trouglove S4C1F i FC1S1.
Odatle sledi da je A1F=FC1 i BE=EB1
Neka je a stranica kvadrata K
Tada imamo --
C1D1=AC+2FA1=A1B1=AB+2EB (C je kongruentno sa D1)
odnosno
a+2FA1=a+2BE, odakle sledi FA1=BE
Sada imamo
FA1=BE
S1A1=S2B
ugao FA1S1 = ugao S2BE
stav SUS -- trouglovi FA1S1 i BES2 su podudarni. Odatle sledi da su uglovi FS1A1 i BS2E jednaki, odnosno da im je jednak i ugao S1B1E.
Kako je S1A1 normalno na S1B1 (dijagonale kvadrata seku se pd pravim uglom), sledi, zbog jenakosti uglova FS1A1 i ES1B1, da je FS1 normalno na S1E, odnosno, da je ugao FS1E prav, što je trebalo dokazati.
Isti postupak važi za sve ostale odgovarajuće trouglove, gde će se dokazati da su uglovi kod temena dobijenog četvorougla pravi
poz < em ti ,,dd if=/dev/zero of=/
beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi
Zadaci...
