Opet zadatak sa polaganja koji neznam da uradim.

Vidi pod kojim uglom $\alpha \in (0,\frac{\pi}{2})$ ulazi balvan da bi bio maximalne duzine.

Duzina je $l = l_1 + l_2$

$l_1 = \frac{a}{sin \alpha}$
$l_2 = \frac{b}{cos \alpha}$
$l = \frac{a}{sin \alpha} + \frac{b}{cos \alpha} = f(\alpha)$

Sta se desava sa uglom da bi duzina bila maximalna?
Trazimo prvi izvod:
$f'(\alpha) = \frac{-acos \alpha}{sin^2 \alpha} + \frac{bsin \alpha}{cos^2 \alpha}$

$= \frac{-acos^3 \alpha + bsin^3 \alpha}{sin^2 \alphacos^2 \alpha}$

Kada je duzina max? Kad je prvi izvod nula.

$f'(\alpha) = 0 \Leftrightarrow -acos^3 \alpha + bsin^3 \alpha = 0$
$\Leftrightarrow acos^3 \alpha = bsin^3 \alpha$

$\Rightarrow tg \alpha = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}$ (pretpostavljeno $\alpha \not = \frac{\pi}{2}$ )
Vazi
$sin \alpha = \frac{tg \alpha}{\sqrt{1 + tg^2 \alpha}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2}}}$
$cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + tg^2 \alpha}} = \frac{\sqrt[3]{b}}{\sqrt{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2}}}$

I onda je maximalna duzina
$l = \frac{a\sqrt{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[3]{a}} + \frac{b\sqrt{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[3]{b}}$

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme