Zadatak iz analiticke geometrije

Zadatak iz analiticke geometrije 08.05.2005. u 15:45 · pre 261 mesec #1

Zadatak glasi ovako:
Naci jednacinu ravni koja polovi ostar ugao izmedju ravni 3x-2y+8z -1 =0 i -4x + y - z + 2 = 0.

Bio bih zahvalan ako bi neko mogao da mi objasni kako se ovo radi. :) Hvala unapred

Potpis

Don’t do drugs, sleep deprivation is better.

Re: Zadatak iz analiticke geometrije 08.05.2005. u 22:05 · pre 261 mesec #2

Ja mislim da znam kako se resava al dobijem sistem u kome su odvratni tj. neresivi koeficijenti kao npr. koren((8*koren(154)+743)/154) i slicno...

Ima li neko neku pomoc? :)

Potpis

Don’t do drugs, sleep deprivation is better.

Re: Zadatak iz analiticke geometrije 09.05.2005. u 13:28 · pre 261 mesec #3

Da ovo standardan tip samo sto su navedene ravni dosta pipave...
Naime, ja sam pre ove tipove zadataka radio na sledeci nacin:

(1) Nadjem oresecnu pravu datih ravni, npr p (vektor te prave kao vektorski proizvod normalnih vektora na date ravni, a tacku random)
(2) Uzmem bilo koju tacku, npr. A, sa prve ravni i proektujem je na p, npr u B. Zatim pustim normalu na p u B tako da pripada drugoj ravni i sa te prave opet uzmem random tacku C.
(3) Nadjem simetralu ugla ABC i ta prava i prava p daju trazenu ravan.

Potpis

Math is like love. A simple idea but it can get complicated.

Re: Zadatak iz analiticke geometrije 10.05.2005. u 01:17 · pre 261 mesec #4

Počnimo od jednačina bisektrisa ovog diedarskog ugla. Ima ih 2. Kao što znamo jedna, od tih dveju ravni, će biti "simetrala" oštrog, a druga tupog ugla. Baš kao u 2D slučaju. Baš kao i u 2D slučaju ćemo rešavati.

Sve tačke "simetrale" će biti podjednako udaljene od obe ravni, tj, ako sa M(x,y,z) obeležimo opštu tačku, vidimo da je uslov da M pripada bilo kojoj od bisektralnih ravni
$d(M,\alpha)=d(M,\beta)\quad\Leftrightarrow\quad \frac{|3x-2y+8z-1|}{\sqrt{3^2+(-2)^2+8^2}}= \frac{|4x-y+z-1|}{\sqrt{4^2+(-1)^2+1^2}}$

tj
$\frac{3x-2y+8z-1}{\sqrt{77}}=\pm\frac{4x-y+z-1}{\sqrt{18}}$

Ponovo, to su dve ravni, međusobno normalne. Ako jedna od njih zaklapa sa bilo kojom početnom ravni oštar ugao manji od $\frac{\pi}{4}$ , to je ravan koju želimo. Sad, istina, mi ne možemo tek tako izračunati ugao između dve ravni, ali možemo cosinus tog ugla.
Označimo sa
$\sigma_1:x(3\sqrt{18}-4\sqrt{77})-y(2\sqrt{18}-\sqrt{77})+ z(8\sqrt{18}-\sqrt{77})+2\sqrt{77}-\sqrt{18}=0\cr \sigma_2:x(3\sqrt{18}+4\sqrt{77})-y(2\sqrt{18}+\sqrt{77})+ z(8\sqrt{18}+\sqrt{77})-2\sqrt{77}-\sqrt{18}=0$

Vektor prve izračunate ravni je
$\vec s_1=(3\sqrt{18}-4\sqrt{77},-2\sqrt{18}+\sqrt{77}, 8\sqrt{18}-\sqrt{77})$
a nj intenzitet
$|\vec s_1|=\dots=\sqrt{12\cdot 11 \sqrt 7 (3\sqrt 7-\sqrt{22})}$

Do ugla između prve izračunate i druge zadate ravni dolazimo putem ugla između nj vektora.
$\cos\theta_1=\frac{|4(3\sqrt{18}-4\sqrt{77})-(-1)(2\sqrt{18}-\sqrt{77})+ (8\sqrt{18}|} {\sqrt{18}\sqrt{12}\sqrt{11}\sqrt[4]{7}\sqrt{3\sqrt 7-\sqrt{22}}}$
tj
$\cos\theta_1=\frac{\sqrt{3\sqrt 7-\sqrt{22}}}{\sqrt 6 \sqrt[4] 7}$
kad ovo uporedimo sa $\frac{\pi}{4}$ vidimo da je
$\cos\theta_1<\cos\frac{\pi}{4}\quad\Leftarrow\quad \theta_1>\frac{\pi}{4}$

Dakle to nije naša ravan. Naša ravan je ona druga, tj bisektralna ravan je
$\sigma_2:x(3\sqrt{18}+4\sqrt{77})-y(2\sqrt{18}+\sqrt{77})+ z(8\sqrt{18}+\sqrt{77})-2\sqrt{77}-\sqrt{18}=0$

Daklem, zadatak nije težak, no su brojevi malo iracionalni.

Re: Zadatak iz analiticke geometrije 10.05.2005. u 17:20 · pre 261 mesec #5

Hvala ti, nisi se trebao toliko truditi. Skontao sam i sam da su koeficijenti bolesno iracionalni.
Jos jednom hvala

Potpis

Don’t do drugs, sleep deprivation is better.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme