[Zadatak]: Eksponencijalna Diofantova jednačina

[Zadatak]: Eksponencijalna Diofantova jednačina 10.03.2005. u 20:12 · pre 263 meseca #1

Da vidim kako biste ovo rešili. Nije teško ali ima dosta drugačijih pristupa tako da bih voleo da vidim različita razmišljanja.

U skupu prirodnih brojeva rešiti jednačinu: $2^x=3^y+5$ .

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: [Zadatak]: Eksponencijalna Diofantova jednačina 11.03.2005. u 21:22 · pre 263 meseca #2

Prvo bih da pitam: kako se u TeX-u pise onaj znak za kongruencije? Ne umem da napisem moje resenje bez toga (mogao bih recima, ali je ruzno).

Re: [Zadatak]: Eksponencijalna Diofantova jednačina 11.03.2005. u 23:05 · pre 263 meseca #3

[tex]a\equiv b\ (mod\ n)[/tex] što predstavlja $a\equiv b\ (mod\ n)$ ili skraćeno [tex]a\equiv_n b[/tex] tj. $a\equiv_n b$ .

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: [Zadatak]: Eksponencijalna Diofantova jednačina 12.03.2005. u 15:10 · pre 263 meseca #4

${{3^y}+5}\equiv 2\ (mod\ 3)$ odakle sledi da da mora biti ${2^x}\equiv 2\ (mod\ 3)$ . Posto je ${2^1}\equiv 2\ (mod\ 3)$ , ${2^2}\equiv 1\ (mod\ 3)$ , ${2^3}\equiv 2\ (mod\ 3)$ zakljucujemo da $x$ mora biti neparan broj tj. oblika $2k+1$ . Znaci $2^x=2^{2k+1}=2(4^k)$ . Vazi da je ${2(4^k)}\equiv 0\ (mod\ 4)$ (izuzev za $k=0$ , kada je $2=3^y+5$ , tj. nema resenja) pa mora biti ${{3^y}+5}\equiv 0\ (mod\ 4)$ tj. posto je $5\equiv 1\ (mod\ 4)$ mora biti ${3^y}\equiv 3\ (mod\ 4)$ . Posto je ${3^1}\equiv 3\ (mod\ 4), {3^2}\equiv 1\ (mod\ 4)$ i ${3^3}\equiv 3\ (mod\ 4)$ mora biti $y$ neparan broj, tj. broj oblika $2m+1$ . Tada je ${3^y}+5=3^{2m+1}+5=3(9^m)+5$ . Za $m=0$ imamo $y=1$ i odatle $x=3$ . Za $m$ vece od nule imamo da je ${3(9^m)+5}\equiv 5\ (mod\ 9)$ sto ne vazi za levu stranu. Dakle jedino resenje je $x=3$ i $y=1$ .

Re: [Zadatak]: Eksponencijalna Diofantova jednačina 12.03.2005. u 16:46 · pre 263 meseca #5

32 = 27 + 5

Re: [Zadatak]: Eksponencijalna Diofantova jednačina 12.03.2005. u 16:58 · pre 263 meseca #6

Citat:

Metalnem:
Za $m$ vece od nule imamo da je ${3(9^m)+5}\equiv 5\ (mod\ 9)$ sto ne vazi za levu stranu.

Dovde je sve OK, ali odakle si ovo izvukao?

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: [Zadatak]: Eksponencijalna Diofantova jednačina 13.03.2005. u 13:09 · pre 263 meseca #7

Da, zeznuo sam se. Nego, kad sam nastavio postupak, video sam da ne mogu nista da uradim. Moze beskonacno da se ide na ovaj nacin.

Re: [Zadatak]: Eksponencijalna Diofantova jednačina 14.03.2005. u 21:08 · pre 263 meseca #8

Ne znam da li tvoj način negde vodi, no ako kažeš da si proverio i da može da se ide do beskonačnosti onda je valjda tako. Kao što sam već rekao, ima nekoliko različitih ideja (mada, istini za volju, nijedna koju ja znam ne uključuje neku briljantnu ideju već je sve manje-više šablon), pa mi recite da li je neko raspoložen da još malo razmišlja o ovom problemu ili da navedem neka od njih.

Za početak mala pomoć: postoje tačno dva rešenja ove jednačine (oba su ovde već navedena, samo treba dokazati da ih nema više).

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: [Zadatak]: Eksponencijalna Diofantova jednačina 20.03.2005. u 19:13 · pre 263 meseca #9

Hajde daj resenje...

Re: [Zadatak]: Eksponencijalna Diofantova jednačina 20.03.2005. u 21:40 · pre 263 meseca #10

Evo načina koje mi trenutno pada na pamet, ako nekog baš interesuje mogu porazmisliti pa pronaći još koji jer znam da sam ih ranije video nekoliko (od kojih su svi, uključujući i ovaj, bili manje-više iste složenosti).

Direktnom proverom za $x<6$ dobijamo dva moguća rešenja: $(x,y)\in\{(3,1),(5,3)\}$ . Sada razmatramo situaciju $x\geq 6$ . Iz ovoga sledi $64|2^x$ pa sledi da je $3^y\equiv 59\ (mod\ 64)$ . Sada ispisujemo ostatke $3^y$ pri deljenju sa $64$ i nadamo se da u njihovom periodu neće biti $59$ .
$3^1\equiv 3\ (mod\ 64)$
$3^2\equiv 9\ (mod\ 64)$
$3^3\equiv 27\ (mod\ 64)$
$3^4\equiv 17\ (mod\ 64)$
$3^5\equiv 51\ (mod\ 64)$
$3^6\equiv 25\ (mod\ 64)$
$3^7\equiv 11\ (mod\ 64)$
$3^8\equiv 33\ (mod\ 64)$
$3^9\equiv 35\ (mod\ 64)$
$3^{10}\equiv 41\ (mod\ 64)$
$3^{11}\equiv 59\ (mod\ 64)$ (ipak se pojavio!)
$3^{12}\equiv 49\ (mod\ 64)$
$3^{13}\equiv 19\ (mod\ 64)$
$3^{14}\equiv 57\ (mod\ 64)$
$3^{15}\equiv 43\ (mod\ 64)$
$3^{16}\equiv 1\ (mod\ 64)$

Hm.. Nije sve baš kako smo se nadali, ali srećom ovi problemi se mogu otkloniti jednim trikom koji se često koristi, a to je da promenimo moduo po kojem gledamo ostatke. Dakle, sad znamo da je $y=16k+11$ . Sledi:
$3^{16}\equiv 1\ (mod\ 17)$ (prosto se dobije kongruencijom)
$3^{16k}\equiv 1\ (mod\ 17)$

Množeći ovo sa relacijom $3^{11}\equiv 7\ (mod\ 17)$ (takođe se lako dobija) imamo:
$3^{16k+11}\equiv 7\ (mod\ 17)$
$3^y+5\equiv 12\ (mod\ 17)$

Sa druge strane imamo:
$2^1\equiv 2\ (mod\ 17)$
$2^2\equiv 4\ (mod\ 17)$
$2^3\equiv 8\ (mod\ 17)$
$2^4\equiv 16\ (mod\ 17)$
$2^5\equiv 15\ (mod\ 17)$
$2^6\equiv 13\ (mod\ 17)$
$2^7\equiv 9\ (mod\ 17)$
$2^8\equiv 1\ (mod\ 17)$

Zaključujemo da $2^x$ ni za jednu vrednost $x$ ne može biti kongruentno sa $12$ po modulu $17$ , iz čega sledi da za početnu pretpostavku $x\geq 6$ dobijamo kontradikciju, što znači da su jedina rešenja jednačine parovi $(3,1)$ i $(5,4)$ .

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme