Napoleonova teorema i njena uopštenja

Iako Napoleonova teorema nije mnogo poznata i često korišćena (mada je u svakom slučaju daleko od totalno nepoznate) večeras sam je nešto proučavao pa sam pronašao i neka vrlo zanimljiva uopštenja, i da sve to ne bi propalo zapisaću ovde na jednom mestu.

Teoreme su sortirane po mojoj proceni njihove složenosti.

1) Originalni oblik (1825)

Neka je dat trougao , i neka su konstruisani jednakostranični trouglovi , i iste orijentacije. Obeležiimo sa , , težišta trouglova , i , redom. Tada je trougao jednakostraničan (često se naziva i Napoleonov trougao — spoljašnji ili unutrašnji).

2) Rigbijevo uopštenje Napoleonove teoreme (1991)

Džon F. Rigbi (John F. Rigby) je 1988. godine u časopisu Journal of Geometry br. 1-2 („Napoleon Revisited“, str. 129—146) dokazao sledeće uopštenje:

Neka je dat trougao i neka su tačke , i takve da su trouglovi , i slični i iste orijentacije. Neka su , i tri odgovarajuće tačke trouglova , i , redom. Tada je i trougao sličan sa trouglovima , i .

Očigledno, ako su pomenuti trouglovi , i jednakostranični a tačke , i njihova težišta dobijamo tvrđenje 1).

3) Fukutina generalizacija Napoleonove teoreme (1997)

Džiro Fukuta (Jiro Fukuta) je 1996. u broju 69 časopisa Mathematics Magazine („Problem Proposal 1493“, str. 67) postavio sledeću hipotezu, koju je O. P. Losers (O. P. Lossers) dokazao i njegov dokaz objavljen je u narednom, 70. broju časopisa Mathematics Magazine 1997. godine („Solution to Problem Proposal 1493“, str. 70-73).

Neka je dat trougao i neka tačke , i pripadaju stranicama , i , redom, tako da je i neka tačke , i pripadaju stranicama , i , redom, tako da je . Neka su , , , , i isto orijentisani jednakostranični trouglovi. Neka je težište trougla , trougla , trougla , , trougla . Tada je šestougao pravilan i njegov centar je u težištu trougla .

Očigledno je da je trougao jednakostraničan, što će reći da u slučaju dobijamo tvrđenje 1).

4) Čerinovo uopštenje Fukutine generalizacije (1999)

Zvonko Čerin je 1999. godine u časopisu Radovi Matematički („Isocentroidal triangles and regular hexagons“, str. 227—239) dodatno uopštio tvrđenje 3).

Neka je dat trougao i neka tačke , i pripadaju stranicama , i , redom, tako da je i neka tačke , i pripadaju stranicama , i , redom, tako da je . Neka su , , , , i isto orijentisani jednakostranični trouglovi. Neka je težište trougla , T_3'[/tex] trogula , trougla , , trougla . Tada je šestougao pravilan i njegov centar je u težištu trougla .

Očigledno, u slučaju ovo se svodi na 3).

5) Napoleon—Barlotijeva teorema (1940)

Džesi Daglas (Jesse Douglas) je u broju 19 časopisa Journal of Mathematics and Physics Masačusetskog tehnološkog univerziteta („Geometry of polygons in the complex plane“, str. 93—130) dokazao sledeće uopštenje teoreme 1):

Neka je dat affine-regular ugao (nisam siguran kako se prevodi ovaj izraz, to je mnogougao koji se može dobiti od pravilnog primenom affine transformacija, odnosno transformacija koje čuvaju kolinearnost i proporciju, u našem slučaju to je ma koja kompozicija translacije, rotacije, homotetije i iskošenja — shear). Ako su nad njegovim stranicama konstruisani pravilni ugli iste vrste, onda njihova težišta formiraju pravilan ugao. Ovde je verovatno potrebno dodatno pojašnjenje pojma „pravilni ugli iste vrste“. Naime, ovde pod pojmom „pravilan mnogougao“ nećemo podrazumevati samo konveksne figure već i zvezdaste, pa čak i degenerisane (tj. pretvorene u duž i sl.), za koje važi da su im sve stranice jednake i svi uglovi jednaki.

Pošto je svaki trougao affine-regular, ovo je očigledno uopštenje teoreme 1).

Adrijano Barloti je (15 godina kasnije) u časopisu Bollettino della Unione Matematica Italiana br. 10 („Una proprietà degli agoni che si ottengono transformando in una affinità un agono regolare“, str. 96—98) ponovo dokazao navedenu teoremu, i po njemu je dobila ime.

6) Petr—Daglas—Nojmanova teorema (1905)

Karel Petr je 1905. u broju 34 časopisa Časopis pro pěstování matematiky a fyziky („O jedné větě pro mnohoúhelníky rovinné“, str. 166—172) dokazao sledeće tvrđenje:

Neka je u ravni dat ugao. Nad njegovim stranicama konstruišemo pravilan ugao određene vrste, zatim nad stranicama ugla koji se dobija spajanjem težišta konstruisanih pravilnih ugla konstruišemo pravilne ugle neke druge vrste i postupak ponovimo puta (postoji ukupno vrsta pravilnih mnogouglova i svaku od njih konstruišemo u po jednom koraku, na kraju nam preostane jedna koju nismo iskoristili). U tom slučaju težišta poslednjih konstruisanih mnogouglova formiraju pravilan mnogougao i to upravo preostale vrste.

Ovu teoremu su naknadno (nezavisno) dokazali i Džesi Daglas u već pomenutom radu, kao i Bernard Herman Nojman (Bernhard Hermann Neumann) u časopisu The Journal of the London Mathematical Society br. 16 („Some remarks on polygons“, str. 70—73). Njihovi radovi prošli su mnogo zapaženije nego prvobitan dokaz, pa se zbog toga u nazivu pominju sva tri imena.

---

Što se tiče ovih vrsta pravilnih mnogouglova evo i nekoliko primera pa će možda biti jasnije: postoje dva pravilna trougla — jednakostraničan pozitivno ili negativno orijentisan, zatim tri pravilna četvorougla — kvadrat pozitivno ili negativno orijentisan kao i degenerisan slučaj kada je i , zatim četiri pravilna petougla — konveksan i pentagram, oba mogu biti orijentisana pozitivno ili negativno, i tako dalje.

Za u konstruišemo tri jednakostranična trougla (u zavisnosti od vrste tj. orijentacije biće unutra ili spolja), i teorema nam kaže da njihova težišta formiraju jednakostraničan trougao (suprotne orijentacije od onih koje smo konstruisali, ali to je nebitno), iz čega sledi da i ovo zaista jeste uopštenje teoreme 1).

Toliko od mene za sada, komentari, pitanja i sve ostalo su kao i uvek dobrodošli.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

OT, ali nadam se zanimljiv.

O.P. Lossers deluje kao pseudonim. Imenica oplosser znači onaj koji rešava.

f

Delimično si u pravu (sad sam baš pronašao tu informaciju), to je naziv tima koji se bavi sličnim istraživanjima i pripada Ajndhovenskom tehnološkom univerzitetu.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.