geometrija ovaj put reshiva :)))

Neka je H ortocentar trougla ABC l krug nad prechnikom AH, P i Q presechne tachke kruga l sa stranicama trougla AB i AC. Dokazati da se tangente kruga u tachkama P i Q seku na stranici BC

Krug l doddiruje krug k iznutra u tachki C neka je M proizvoljna tachka kruga l .
Tangenta kruga l u tachki M seche krug k u tachkama A i B. Dokazati da je prava
AM simetrala ugla ACB.

Potpis

Ovde drugi zadatak ne može da se reši, jer simetrala kod ugla C mora da sadrži tačku C. Kako prava AM ne sadrži teme C, sledi da ta prava ne može biti simetrala datog ugla.

Prvi zadatak mi se jako svideo.
Naime, kako je AH prečnik kruga, tačka P je tačka sa kružnice, sledi da je ugao APH=90 (kao periferijski nad prečnikom). Odatle sledi da je HP normalno na PA. Kako je PA na stranici AB (zbog uslova zadatka), sledi da je tačka P podnožje visine iz temena C na stranicu AB. Analogno za tačku Q.

Tačka S (centar datog kruga), P i Q pripadaju tzv. Ojlerovom krugu (krug sa 9 tačaka -- podnožja visina, središta stranica i središta duži koje spajaju ortocentar sa temenima bilo kog trougla).

Neka je D središte duži BC. duž SD je prečnik Ojlerovog kruga -- uglovi DPS i DQS su jednaki, kao periferijski nad prečnikom.
SP=SQ kao poluprečnici datog kruga.
SD=SD --
trouglovi SDQ i SDP su podudarni (stav SSU).

Sledi da su PD i QD jednake, dalje sledi da su iste duži tangentne duži iz tačke D na dati krug (jer su tangentne duži iz iste tačke na krug jednake). Tačka D pripada stranici BC, odakle sledi tvrđenje zadatka.

poz
on a GUI hAInted to call Crys

Potpis

beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi