Diferencijalna jednačina - Laplasova transformacija

Dakle, diferencijalna j-na glasi:

X^4 - X^2 + 5X = sin t + cos t

Riješiti je primjenom Laplasove transformacije.
Kako da prevedem lijevu stranu. Da li je ovo ^4 četvrti izvod? Ako jeste onda kada prevedem lijevu stranu dobijam četverostepeni izraz u imeniocu koji mi pravi probleme kada ga hoću vratiti inverznom transformacijom.

Napominjem da nisam ekspert pa bi molio za neku uputu kada mi se sa lijeve strane nađe potencija veća od ^2 , jer onda se komplikuje razlaganje imenioca.

Nadam se da sam bio jasan.
Hvala unaprijed.

Potpis

When you think everithing happens to you is so bad ....
remember that always could be even worse.

Nije valjda da mi niko ne može pomoći

Potpis

When you think everithing happens to you is so bad ....
remember that always could be even worse.

Super ti ova dif j-na... Samo gde su ti izvodi ?
Ili ona glasi
x⁽⁴⁾-x⁽²⁾+5x=sin t + cos t ?

@KPYU

Ma vidi ... to sam i ja mislio da se podrazumijeva iako mi je baš onako bio postavljen zadatak na ispitu. Vjerovatno se radi o grešci.

Nego možeš li mi nešto konkretno odgovoriti ako je (a jeste) postavka:

x(4)-x(2)+5x=sin t + cos t

Unaprijed hvala

Potpis

When you think everithing happens to you is so bad ....
remember that always could be even worse.

Zadatak se može rešiti i bez ikakvih Laplasovih transf...

Ovo je dif j-na sa const koeficijentima. Naime uz izvode imaš konstante. Prvo posmatrajmo homogeni deo date j-ne: x^IV-x'' + 5x=0.Potražimo rešenja u obliku . Dobijamo jednačinu
Ako dobijemo da je znamo da će postojati i rešenje . Tada znamo da u rešenju homogenog dela imamo funkcije
Uvedimo smenu . J-na postaje k²-k+5=0, a rešenja su . E, sad je. Pošto mi ne pada na pamet da ti sad objašnjavam kako se vadi koren iz komplexnog broja, veruj mi da je
. Dakle rešenje homogenog dela je


A sad nehomogeni deo: tražimo ga u obliku x_NH = A cos t + B sin t. Pošto je
(sin t)⁽²⁾= -sin t i (cos t)⁽²⁾= -cos t, a samim tim i
(sin t)⁽⁴⁾= sin t i (cos t)⁽⁴⁾= cos t, zaključujemo da x_NH⁽²⁾= -x_NH, kao i x_NH⁽⁴⁾= x_NH. Dakle 7x_NH= sin t + cos t tj



Najzad, opšte rešenje

KPYU

Puno ti hvala na trudu (izvini za zakašnjenje).

Znaš, u postavci se zahtjeva rješenje Laplasovom transf. , obzirom da se radi o predmetu Teorija automatskog upravljanja, mada mi je i ovo pomoglo jer sam uvidio da se profa očito zeznuo u postavci jer mi je nelogično da je rješenje tako kompleksno, a ko zna kako, i da li bi se to moglo riješiti pomoću Laplasove transformacije.

Još jednom hvala.

Potpis

When you think everithing happens to you is so bad ....
remember that always could be even worse.

Da ne otvaram novu temu, rijesih da postavim pitanje u ovoj rubrici.

Danas imadoh na ispitu sledeci zadatak:

Ako je oblast konvergencije laplasove transformacije funkcije : (e^(-5t))*u(t) + (e^(-w*t))*u(t)
ROC (region konvergencije): Re(s) > -3 , odrediti kakve uslove treba da ispunjavaju realni i kompleksni dio
od w.

Svakako, u centru je problem konvergencije transformacionog integrala. Kako nam to bas i nije najbolje pojasnjeno u toku kursa, molio bih nekog ko zna da obrazlozi ukratko kako to realni, a kako kompleksni dio uticu na problem konvergencije ...

Ah, da ... u(t) je odskocna, tj hevisajdova funkcija (0 prije nule, 1 poslije nule).

Hvala!

Nule laplasove transformacije su u -5 i -w a sve nule treba da budu levo od oblasti konvergencije sto znaci da je Re(w) vece od 3 a imaginarni deo moze da bude sta god hoces.