(nadam se da si uspela da se odvadiš :)))
Kako dokazati da polinom mora imati bar jednu nulu?
Zaključano
Zakačeno
Citat:
zzzz: Ajde ti riješi onaj limes sa upisanim mnogouglovima Nedjeljko.
A otkud znaš da se taj limes može izračunati tako da se dobije rezultat u obliku koji ti očekuješ. Postoje konstante koje se ne mogu zapisati preko elementarnih funkcija (dakle, kao izraz u kome učestvuju četiri osnovne računske operacije, eksponencijalna funkcija, logaritamska, trigonometrijske, njoma inverzne i tako to) i racionalne konstante. Možda je taj limes baš takav, a možda i nije. Ako ga neko izračuna (to jest predstavi u prethodno opisanom obliku), svaka čast.
Potpis
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
@conica
Ma jok bre, i meni je drago da neko ovo nalazi zabavnim :) Moj odgovor je bio u tom smislu; pokušaj da unesem još malo veselja...
Ma jok bre, i meni je drago da neko ovo nalazi zabavnim :) Moj odgovor je bio u tom smislu; pokušaj da unesem još malo veselja...
Darko, znači li to da sam slobodan da izbunarim poneko zanimljivo pitanje?
Potpis
Naravno, Dejane. Pa ti si i sam deo ove odgovaračke ekipe, deo mašine :)
Zato postavljaj pitanja kol'ko god ti duša ište. Uostalom, ko mene pa pita... Kad god imam vremena ja se potrudim da odgovorim, a ima tak'ih još.
Nego, nešto sam razmišljao (pravo čudo :). Dosta se ovde energije troši a mislim da može biti i bolje upotrebljena, kad se već bavimo, kako-tako, naukom. Da li neko ima neku interesantnu, originalnu, ideju koja može da se razradi? Da ne bude da samo prežvakavamo ono što piše po udžbenicima.
Zato postavljaj pitanja kol'ko god ti duša ište. Uostalom, ko mene pa pita... Kad god imam vremena ja se potrudim da odgovorim, a ima tak'ih još.
Nego, nešto sam razmišljao (pravo čudo :). Dosta se ovde energije troši a mislim da može biti i bolje upotrebljena, kad se već bavimo, kako-tako, naukom. Da li neko ima neku interesantnu, originalnu, ideju koja može da se razradi? Da ne bude da samo prežvakavamo ono što piše po udžbenicima.
Vidim da ste se malo odaljili od samog pitanja. Evo pokusacu da "dokazem", tj da ilustrujem dokaz koriscenjem samo high school matematike za drugu godinu. Prvo, nadam se da je autor teme zna sta su kompleksni brojevi. Resicemo najopstiji slucaj kad je polinom sa kompleksnim koef. i trazimo kompleksnu nulu. Sve kompl. brojeve mozes napisati u obliku z=ro*(cos(phi)+i*sin(phi)), kad ro=|z| ide od 0 do +Inf i phi ide od 0 do 2*pi.
Ako je P(0)=0 onda je 0 nula polinoma. Neka je A=P(0)<>0. Neka je sada |z| toliko veliko da je P(z)~=a_n*z^n. Tada kad phi ide od 0 do 2*pi, P(z) priblizno opise krug u kompl. ravni koji obuhvata tacku 0 (0 je centar tog kruga). E sad, kad smanjujes ro, kriva koju opisuje P(z) se smanjuje i deformise (nije vise krug jer P(z) nije vise priblizno jednako sa a_n*z^n), pri cemu tacka 0 i dalje ostaje unutar te krive. Ako je ro pak suvise malo, kriva se vrti oko tacke A, tj 0 je van nje.
Znaci, za neko ro=ro_0 tacka 0 "ispada" iz krive, i tada je na njoj (ponavljam, ovo je sve kako mali Djokica zamislja), a tada je za neko phi_0 P(z_0)=0. Kraj "dokaza". Nadam se da sad bar intuitivno razumes zasto svaki polinom iz C[x] ima nulu u C :).
RgdZ, deXter
Ako je P(0)=0 onda je 0 nula polinoma. Neka je A=P(0)<>0. Neka je sada |z| toliko veliko da je P(z)~=a_n*z^n. Tada kad phi ide od 0 do 2*pi, P(z) priblizno opise krug u kompl. ravni koji obuhvata tacku 0 (0 je centar tog kruga). E sad, kad smanjujes ro, kriva koju opisuje P(z) se smanjuje i deformise (nije vise krug jer P(z) nije vise priblizno jednako sa a_n*z^n), pri cemu tacka 0 i dalje ostaje unutar te krive. Ako je ro pak suvise malo, kriva se vrti oko tacke A, tj 0 je van nje.
Znaci, za neko ro=ro_0 tacka 0 "ispada" iz krive, i tada je na njoj (ponavljam, ovo je sve kako mali Djokica zamislja), a tada je za neko phi_0 P(z_0)=0. Kraj "dokaza". Nadam se da sad bar intuitivno razumes zasto svaki polinom iz C[x] ima nulu u C :).
RgdZ, deXter