Jos tri matematička zadatka

Želeo bih da skrenem pažnju korisnicima da objavljuju samo PRAVE ZADATKE a ne raznorazne trikove i doskočice.

Dobio sam utisak da su nekima prethodni zadaci bili laki, možda ce ovi biti interesantniji . Takode se rade sa znanjem iz srednje škole


1. Broju 579 dopisati sa desne strane tri cifre tako da dobijeni šestocifreni broj bude deljiv sa 5, 7 i 9. Naći sva rešenja.

2. Odrediti najveći petocifreni broj koji pri deljenju sa 11 daje ostatak 1, pri deljenju sa 12 daje ostatak 2, pri deljenju sa 13 daje ostatak 3 a pri deljenju sa 14 daje ostatak 4.


Vidim da je nervozna pomenula faktorijel, pa se setih i jednog takvog zadatka:

3. Rešiti jednačinu: x!+y!=z!


Ko reši ove zadatke neka odmah postuje rešenje, ali samo ako je matematicki egzaktno.

Pozdrav!

NZS(11,12,13,14)=12012
Da bismo dobili najveci 5-cifreni broj delimo celobrojno 99999 sa 12012 i dobijamo 8. Najveci 5-cifreni ZS je, dakle, 8*12012=96096. Da bismo dobili ostatke koji se traze u zadatku treba od ovog broja oduzeti 10. (Kad od broja koji je deljiv sa 11 oduzmem 10 rezultat ce pri deljenju sa 11 da da ostatak -10 tj 1. Isto vazi i za ostale brojeve iz zadatka).
Trazeni broj je 96086.

Ma da...jedina je caka da napišeš:
n=-10(mod 11) umesto n=1(mod 11)
n=-10(mod 13) umesto n=3(mod 13)
n=-10(mod 14) umesto n=4(mod 14)
.
.
.
poz.

ovaj treci sam radila sat vremena ,jer mi je toliko trebalo da smislim nacin resavanja na nivou srednje skole
kako se radi o faktorijelima(suzenje funkcije preslikava skup prirodnih brojeva prosiren nulom na skup prirodnih brojeva),to se,bez umanjenja opstosti moze uzeti da je y<=x,odakle sledi da je y!<=x!.naravno da je z>y i z>x,pa samim tim i z!>y! i z!>x!.
ako napisemo
y!=z!-X!,transformacijom izraza dobijamo
y!=x!*(n-1),gde je n prirodan broj oblika (x+1)*(x+2)*...*z,sa napomenom da ovaj proizvod moze imati 1 ili vise mnozitelja,jer ne znamo za koliko je z>x.osim toga,z<>0.
kako smo pretpostavili da je y!<=x!,poslednja jednacina je smislena samo u slucaju da je (n-1)=1(kad bi taj broj,koji mora biti pozitivan ceo broj,bio veci od 1,dobili bi kontradikciju pretpostavci da je y!<=X!,dakle, suprotno onome sto smo pretpostavili).
iz jednacine
n-1=1 sledi
n=2.kako je to proizvod prirodnih brojeva i to uzastopnih,jedini brojevi koji zadovoljavaju uslov su 1 i 2.dakle,vidimo da se
a)gornji proizvod sastoji od 2 faktora 1 i 2,jer je x+m=z,pa je x!*((x+1)*...*(x+m)-1),pri cemu je proizvod iz zagrade jednak broju n,znaci x!*(1*2-1).odavde sledi da je z=2 i x+1=1,tj,x=0
kako je y<=x,sledi da je i y=0
b)gornji proizvod sastoji se iz jednog jedinog broja,broja 2,pa dobijamo
opet z=2,ali x+1=2,pa imamo x=1
sad y moze biti i 1 i 0
da smo pretpostavili da je x<=y,imali bi ista resenja,samo sto bi dobili jos jednu kombinaciju
x=0 i y=1

nadam se da nisam dala nejasno resenje


dakle
resenja su
z=2(uvek)
x=1 ili x=0
y=1 ili y=0
x i y se mogu kombinovati svakojako,jer 0!=1!=1

[Ovu poruku je menjao nervozna dana 22.01.2002 u 12:28 AM GMT]

Potpis

beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi

Ja sam ovaj zadatak resavao suprotnim putem od tebe. Prvo sam konstatovao resenja za x=0 ili x=1 i y=0 ili y=1 i z=2. Onda sam (kao i ti) zakljucio da mozemo pretpostaviti da je y!<=x! ne umanjujuci opstost zadatka a zatim jednacinu napisao kao z!/y!=1+x!/y!. Iz nje se vidi da je leva strana paran broj vec za z!/y!>=2. Desna strana jednacine je neparan broj za x!/y!>=2 sto znaci da za druge kombinacije vrednosti osim onih pocetnih nema resenja. (Ne znam bas da li je potpuno matematicki korektan ovaj dokaz- ali resenja se uklapaju)



[Ovu poruku je menjao bukumi dana 25.01.2002 u 01:31 PM GMT]

nije korektan odgovor matematicki
ako te zanimaju detalji,napisacu ti
a jako mi je drago sto dolazis ovde i saradjujes raspravom
pozdrav

Potpis

beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi

evo za prvi zadatak
nzs(5,7,9)=315
najmanji broj koji se trazi,a da pocinje sa 579 je broj 579 000
ipak,to ne moze biti taj broj,jer pri deljenju sa 315 daje broj koji nije ceo
dakle
579000/315=1838,0952
sledi ,1838+1 je broj,koji ce mnozenjem sa 315 dati ceo broj
taj broj je
579285 i to je jedno resenje zadatka

najveci broj koji pocinje sa 579 je 579 999,pa se deljenjem sa 315 dobija
1841,26666
po prethodnoj logici imamo
1841*315=579915 i to je drugo resenje zadatka
ostao je broj 1840 da ga proverimo
1840*315=579600 i to je trece i poslednje resenje zadatka


dakle,broju 579 sa desne strane treba dodati brojeve
285 ili
915 ili
600
da bi dobijeni sestocifreni broj bio deljiv brojevima 5,7 i 9

Potpis

beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi