Zanimljivi zadaci sa matematičkih takmičenja

Ja radije ne bih nikoga da teram kako da postavlja zadatke, ako autor želi da ih sve postavi u ovu temu jer mu je tako lakše/preglednije/lepše, a pogotovo ako se radi o zadacima koji su po nečemu slični (npr. svi zadaci ovde su sa određenog takmičenja). Ako smatra da neki zadatak zaslužuje posebnu temu zbog neke određene stvari naravno može da otvori novu temu i tamo ga postavi.

---

1.(pravougli trougao) ugao <CFD je prav zato jer je periferni ugao kružnice k nad njenim prečnikom CD. Takođe periferni ugao <ECF kružnice k, nad njenom tetivom EF je prav, pa je tetiva EF u stvari prečnik kružnice k. Lako je sada zaključiti da je CFDE u stvari pravougaonik, odavde pak sledi da je G centar kružnice k. Dalje, primetimo da je <CAB=<CFE. Neka je x tangens ugla <CFE tada x=CE/CF. Međutim imamo 4CG^2=CE^2+CF^2 i CG^2=CE*CF odavde izvodimo da mora važiti x^2-4x+1=0. Rešavanjem ove kvadratne jednačine dobijamo rešenja za x odakle lako dobijamo da su uglovi 15° i 75°.

2.(tri kružnice, konstrukcija) neka se kružnice k,l,m sa centrima K,L,M redom dodiruju u tačkama A,B,C (l,m u A; k,m u B; k,l u C). Primetimo samo da A,B,C leže na stranicama ML,KL,KM trougla KLM redom.
Označimo sa D drugu presečnu tačku prave BC i kružnice l. Tada, važi 2<ADC=<AMC (periferni i centralni ugao nad tetivom kružnice). Malo aritmetike sa uglovima daje nam da važi <ABD+<ADB=90°, znači <DAB je prav pa je takav i <DAE (gde je E druga presečna tačka prave AB i kružnice l). Sada znamo da je DE prečnik kružnice l.
Neka je F druga presečna tačka prave AB i kružnice k, G druga presečna tačka prave AC i kružnice k. Kao i malopre zaključujemo da je FG prečnik kružnice k pa je <GCF prav, dakle i <HCA je prav (H je druga presečna tačka prave CF i kružnice l). Međutim sada je HA prečnik kružnice l. Sada imamo dva prečnika kružnice l, to su DE i HA. Jasno je da M leži na preseku pravih DE i HA.
Konstrukcija centara datih kružnica samo pomoću lenjira se sada lako izvodi.

Ali pogledaj naslov teme... Ima li on veze sa razvojem situacije na terenu? Definitivno druga tema... Ili ako su zaista svi sa nekog takmičenja, staviti naslov "zadaci sa takmičenja tog i tog".

Evo, predlog usvojen :)

---

evo bio sam malo odsutan(bliži se kraj ljeta i to)ali vidim da ste se vi potrudili

ovom prilikom želim još jednom zahvaliti svima koji riješavaju ove zadatke jer mi je to bitno

a evo sada da pojedinačno odgovorim

Bojan:
ono da su zadaci bili preteški bila je svakako šala,i ja ću biti zadovoljan da riješiš bilo kakav zadatak(jesi rješio još koji?;)) ).
volio bih kad bi ti (ili bilo ko drugi)meni zadali zadatak,a domena prvi ili eventualno drugi razred.
i eto dobro da si usvojio darkovu ideju o promjeni imena teme;)
btw,meni se čini da si i ti bio ili si još natjecatelj u zadatcima iz matematike.jel to istina ili griješim?

zzzz:
eto ispostavilo se da nešto i valja od tvojih rješenja...
ma rasturaš,majstore

chupcko:
mislim da bi bilo previše za svaki zadatak otvarati novu temu,kao što je i bojan reko, a ako se nemoš snać ja ću još jednom poslat te,a i nove zadatke;)))

hellbound:
hvala na trudu i odvojenom vremenu,čini mi se da su sva rješenja točna.onaj s kružnicama je odlično rješen,ali mi je čudno što su takav(za prvi razred ipak malo teži zadatak)stavili na najnižoj razini natjecanja.jedino ne kontam ono s vjerovatnošću(i nije mi toliko bitan,ali me zanima),zzzz je rekao obratno( :))) )

a što se tiče rješenja s pravokutnim trokutom,mislim da su točna i tvoje i bojanovo ali nešto zaboravljate,stoga bih nešto rekao o zadacima s natjecanja.

kod tih zadataka komisija ocjenjuje više parametara a na samo rješenje.dva najbitnija su:
rješenje(:))))) )
ali još bitniji POSTUPAK
dakle,ako on ne valja nema šanse da će rješenje dobit i pola bodova a kamoli max bodova(25 bodova je uobičajeno max na hrvatskim natjecanjima ne znam kako drugdje).ako postupak pak valja onda to ide ovako:
rješenje oped ne dobiva max bodova ako je u postupku korišteno matematička teorija iz VIŠEG razreda(dobiva recimo 70-80%)mada ni to nije loše :)),rješenje se ne tretira kao 100%točno.
stoga je za 100%bodova zadatak potrebno riješiti sa znanjem razreda u kojem je zadatak postavljen.
prije sam bio protiv toga,ali kad bolje razmislim logično je:
matematika je ponajprije nauka koja zahtjeva pravilno zaključivanje i razmišljanje na temelju poznatih činjenica(ili recimo na natjecanju DOPUŠTENIH činjenica),što znači da u njoj nema mjesta "štreberima" koji perfektno znaju teoriju a to znanje nezanju primjenit(na natjecanju su to oni koji nauče "napamet" teorju viših razreda pa neki zadatak riješe lako s tom teorijom).to je dakle snalaženje u situaciji s OGRANIČENIM sredstvima.

ajmo onda da se dogovorimo.
onaj ko želi postavit zadatak nek obavezno napiše za koji je razred a ako ne nek to ostavi otvoreno
onaj ko rješava zadatak nek proba isti rješit teorijom naznačenog zadatka,a ako ne,onda može bilo kako( ;))))))) )
također je poželjno da se isti zadatak riješi na više načina,jer svako novo rješenje je dokaz da "nikad nije gotovo"

nadam se da vas ova "pravila" neće otjerat od rješavanja zadataka,a budući da tema sad ima prikladan naziv i drugi koji se pripremaju za natjecanja mogu se pridružit:)))

konkretno za zadatak s pravokutnim trokutom to znači da morate zaboravit na kvadratne jednadžbe i trigonometrijske funkcije(mada apsurd ja to znam,a u prvom razredu je to znanje potrebno za FIZIKU!!?!!).čak mi se nešto vrzma po glavi da zadatak nema rješenja(i to je moguće)ali ipak...još ću provjerit.

p.s vjerovatno vas zanima zašto sam ovako navalio,kad mogu pričekad početak škole i konzultirat se s profesorom.e pa to je zato što:
u osnovnoj sam imao dobrog profesora i uz njegovu pomoć sam ostvarivao dobre rezultate.no u srednjoj sam dobio profesora koji je izgubio nadu u "nadarene" učenike pa se on sada samo nasmije kad ga pitam za pomoć(inače je legenda ali...) tako sam ja ove godine probao sam,ali budući da se nisam pripremao(pa nisam ni znao tada AG nejednakost koja me "stajala glave")nisam se baš snašao(iako sam ,gle čuda,bio prvi),pa je bilo ono malo podsmjeha.stoga sam takvim odlučio pokazat da "ko se zadnji smije najslađe se smije",pa evo sad uz ovaj forum i neku literaturu se "nabildavam"za okršaj...
eto ako se još netko osjeća ovako,nek se pridruži pa da vidimo...

p.p.s nadam se da post nije predugačak

POZDRAV SVIMA!!!

mijo

---

Rešio sam sve što si postavio ali me je mrzelo da kuckam pa sam malo pričekao, kasnije sam video da su i drugi ljudi rešili pa se nisam ni javljao. Nisam pratio da li je baš sve rešeno, ako nešto i nije javi pa ću videti,

Dobro, mada malo preciziraj šta bi tačno voleo (npr. oblast), ne pada mi sad na pamet ni jedan zadatak koji bi ti se svideo ali u svakom slučaju ih mogu pronaći. I obavezno pregledaj ovaj forum, ima tu dosta lepih zadataka do sada objavljenih.

Da, bio sam i još sam uvek, da se malo hvalim ;) ove godine sam za jedno mesto omašio svetsku Olimpijadu ali nadam se da ću grešku ispraviti sledeće. Mada me iznenađuje činjenica da to znaš, ja moram da priznam da ne poznajem nijednog takmičara "preko grane".

Samo je omaška u poslednjoj rečenici, oba rešenja su tačna i potpuno ista.

Moje "rešenje" analitičkom geometrijom je bila zezancija, čisto da vidiš da ima raznih pristupa.

Apsolutno netačno!!! Ti imaš zadatak da rešiš zadatak kako god znaš i umeš, jedini zahtev je da rešenje komisije ne sme da izlazi iz okvira razreda u kom je postavljen. To je tako zbog toga da bi svaki takmičar imao šansu da reši zadatak, ali onaj koji zna više (tj. gradivo viših razreda) je logično da ima prava da ga koristi. Sad ću ti ispričati i jednu "aferu" sa takmičenja odavde, tamo neke '92-3 godine (nisam tačno siguran kad) za prvi (ili možda drugi) razred. Na Saveznom takmičenju bio je zadatak da se odredi ekstremna vrednost neke funkcije. Takmičar P. M. (neću mu spominjati puno ime) je rešio "iz rukava", dok je takmičar I. D. rešio tako što je lupio drugi izvod da dokaže da je funkcija konveksna, a zatim je lako izjednačio prvi izvod sa 0 i tako dobio rešenje. Nisam siguran da li znaš o čemu pričam, ako ne znaš to je samo dokaz da se te stvari ne uče na tom nivou. Obojica su imali sve ostale zadatke tačne. I kako se takmičenje završilo? I. D. je imao 100 bodova, a P. M. je imao 99 sa obrazloženjem da su mu skinuli taj jedan bod zbog toga što je njegov kolega rešio zadatak korišćenjem matematičkog aparata koji je mnogo iznad njegovog nivoa, i na osnovu toga oni ne mogu biti jednaki na deobi prvog mesta!!! Naravno da ni ovo nije u redu, ali sve ovo pričam da bih ti objasnio da ti smeš da koristiš sve što matematika poznaje kao tačno, a kad je predsednik komisije izvesni profesor koji je i sad na vrlo visokoj funkciji (razumljivo je što mu ne pominjem ni inicijale) onda on može čak i da zaobiđe pravila da bi te nagradio za znanje.

Ne shvatam kako bi to išlo, lako je kad postaviš zadatak sa nekog takmičenja, ali šta ako neko postavi iz neke zbirke za pripreme i sl. gde ne piše koji zadatak je za koji razred?

[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 15.08.2004. u 23:53 GMT]

---

paaa,ako je zbirka recimo za prvi razred....;)))))))))))))))



hmhmhm...
ovdje je ja mislim situacija bila drugačija...(državno natjecanje)
naime,jedan je učenik(ne znam ime a ni inicijale :) ) mislim iz prvog razreda ili ne znam sad kojeg nije bitno,u jednom zadatku preskočio stranicu različitih matematičkih muljanja koja su dopuštena na njegovom nivou i jednostavno aparatom(znanjem)matematike viših razreda napisao neku tvrdnju iz koje lako dobiva rješenje.
e sad su nastale dileme u komisiji.jedan dio je mislio kako se riješenje treba 100% uvažit a drugi kako rješenje ne treba priznat kao potpuno(neki čak da ga treba prekrižit!!!!)nisam siguran ali mislim da je učenik "popušio" a sigurno nije dobio sve bodove
tada sam ja bio na strani učenika i smatrao sam da je to ispravno.
ali sada mislim drukčije,naime službena rješenja su UVJEK data na razini na kojoj je i zadatak,i u principu treba samo dobra ideja.
to je ono što ja mislim da je ispravno.govoreći konkretno o zadatku s početka teme, ja sam mogao "nabubat"te derivacije ili što već i neke jednostavnije primjere, i napisat rješenje a da uopće ne znam o čem je riječ,dok s druge strane ideja koja počiva na AG nejednakosti je jednostavna,dopuštena,elegantna,razumljiva itd... smatram da je to inteligencija,snalaženje u datim situacijama s DANIM sredstvima...



crnjak....



pa ne znam može bilo šta ali evo sad trenutno recimo neke nejednadžbe...
(evo konkretno malo AG nejednakosti)
možda imaš zadatke kad si ti bio prvi,pa ako moš njih poslat...(btw. kako se ti pripremaš za natjecanja?)
poželjan bi bio i pokoji link...ma svega...a i forum je dobra ideja

a što se tiče onog zadatka s pravokutnim trokutom mislim si ja nešt ovako:




sve je jasno do tangensa.i poslje toga je sve dobro ali mislim da je krajniji zaključak pogrešan,odnosno iz kvadratne jednadžbe dobivamo dva rješenja za tangens(slično kao i bojanovo rješenje gdje imamo dvje vrjednosti za p), a time i omjer(valjda) CE/CF pa bi valjda onda te dvije dužine trebale imati i dvje duljine što je ,opet valjda:))), nemoguće

iz uvjeta zadatka izlazi(a=CE,c=EF)

pa izlazi da je kateta u takvom trokutu uvjek veća od hipotenuze što je opet nemoguće...

budući da su svi postavljeni zadatci rješeni evo par novih :)) :
(na ovom sam natjecanju bio u sedmom razredu;))
-------------------------------------------------------------------
11. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE
Zadar, 2. - 5. svibnja 2002.



Zadatci za I. razred


1.Duljina srednjice trapeza je 4, a kutovi uz jednu osnovicu su 40 i 50 stupnjeva. Odredite duljine osnovica ako je udaljenost njihovih polovišta jednaka 1.

2.Dokažite da za bilo koje pozitivne brojeve a, b, c i bilo koji nenegativan cijeli broj p vrijedi nejednakost


3.Nađite sve trojke (x,y,z) prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu


4."Kolo sreće" podijeljeno je na 30 odjeljaka u koje su upisani brojevi 50, 100, 150, ... , 1500 (u nekom redosljedu). Dokažite da postoje tri uzastopna odjeljka u kojima je zbroj brojeva veći ili jednak 2350.
-------------------------------------------------------------------
treći sam skoro riješio...a za prvi nisam siguran dal je rješenje točno,a četvrti je dost proziran dok drugi...u svakom slučaju,ko želi...

---

kad bolje pogledah gore,vidim da su ostali još ovi:
--------------------------------
četvrti razred:
1.Tri tangente parabole određuju trokut.Dokažite da opisana kružnica tog trokuta prolazi kroz fokus parabole.

i malo trećeg razreda...

1.u pravilnoj trostranoj piramidi kut nagiba bočnog brida prema ravnini baze jednak je plošnom kutu uz vrh piramide.oredite volumen piramide ako je duljina brida baze jednaka a.


3.koristeći se pogodnom supstitucijom odredite broj korjena jednadžbe



koji se nalaze unutar segmenta [0,1]
--------------------------------
mene samo zanima onaj s piramidom,a mislim da nije tako težak tako da ću ga probat riješit.ostali zadatci mogu pomoći drugima koji žele naoštrit moždane vijuge...

---

Da, kao što rekoh njihovo rešenje mora biti na nivou učenika jer kad su oni postavljali zadatak morali su svim učenicima dati mogućnost da reše. A ti ako znaš više nego ostali onda je logično i da budeš bolji od njih, tj. da se više plasiraš na takmičenju. Naravno, ni primer koji sam ja naveo nije bio po pravilima, realno su trebali da podele prvo mesto, ali kao što vidiš radi se kako se prohte pregledačima. Ponoviću još jednom, prema propozicijama takmičenja smeš da koristiš apsolutno sve što je ikad u istoriji dokazano da postoji, u to osim raznih matematičkih aparata spadaju i sve do sada dokazane teoreme, pa čak ako ti zatreba smeš da koristiš i npr. Veliku Fermaovu teoremu (dokazana je).

Zar ti ne pada na pamet da onaj ko nauči napamet teoriju viših razreda opet neće imati koristi od nje, i to treba da se primenjuje. Nećeš ti narednih godina učiti nešto što ti svaki zadatak rešava iz cuga, a da ti ni ne znaš kako to ide, sve što se uči ima i svoj način kako se primenjuje.

Da, ali ta "data" sredstva su sve ono što su matematičari uradili otkad je sveta i veka pa do danas.

Pokušaću da odaberem ponešto zanimljivo.

Ne verujem, ali potražiću, možda su mi ostali negde.

Nikako, to je moj najveći problem, strašno sam lenj što se toga tiče (a uglavnom i ostalih stvari). Prelistam svesku jedno veče pred takmičenje.

Nije nemoguće, naprotiv, dva rešenja prostiču iz toga kako si ti "okrenuo" taj trougao, da li je AC>BC ili je obrnuto.

Ovaj sam rešio jednim pogledom, stvar je strašno prosta i zahteva bukvalno dva reda. Potraži negde (imaš i ovde na forumu) Mjurhedovu nejednakost, pomoću nje se ovaj zadatak rešava jednim potezom olovke, a ta nejednakost je jako korisna i trebao bi da naučiš da je primenjuješ. Neću ti sad reći, dao sam ti uputstvo i pokušaj sam dalje, a ostale zadatke nisam ni pročitao, sad me nešto mrzi da ih rešavam.

---

Nakon što sam ti obećao da ću ti postaviti zadatke primetio sam da sam sve svoje knjige ostavio u drugom stanu, pa sam hteo da sačekam do septembra a tad ćeš dobiti (ima tamo i AG nejednakosti i svega ostalog, samo se strpi). Međutim, imaš sreće, sasvim slučajno sam naleteo na moje zadatke dok sam bio prvi razred sa Republičkog takmičenja, pa ti postavljam njih.

1. Dat je polinom sa celobrojnim koeficijentima. Pri deljenju polinomom , daje ostatak . Dokazati da nema ni jednu nulu u skupu celih brojeva.

2. Dat je trougao i tačke , , na njegovim stranicama , , redom, takve da je četvorougao paralelogram. Posmatrajmo krugove opisane oko trouglova i . Neka su i njihove tangente u tačkama i redom. Dokazati da je .

3. Dati su realni brojevi , , , za koje važi:
, , .
Dokazati da je .

4. Dat je trougao . Posmatrajmo prave koje seku stranice i u tačkama i redom, tako da je . Dokazati da postoji krug koji dodiruje sve takve prave.

5. Neka je zbir, a proizvod cifara prirodnog broja . Naći sve prirodne brojeve za koje je .

Eto ti malo za vežbu, javi šta si uradio. I nađe li Mjurhedovu nejednakost, onu što sam ti preporučio u prošloj poruci?

---

e to majstore,evo sad pogledah zadatke...

pa da se malo zagrijemo...

hehe

pozdrav

p.s našao sam o onoj nejednakosti nešto na ovom forumu,ali ništa baš konkretno.možda nisam dobro gledo,ali mene ne zanima toliko dokaz koliko sama formulacija,dakle kako glasi ta mjurhedova nejednakost.jel ima neko ko bi ju mogao postavit ovdje?'fala.

---