Lep zadatak sa uglovima

Odgovori Nova tema

6 odgovora
3.043 pregleda

Lep zadatak sa uglovima 06.03.2025. u 10:40 · pre 20 meseci #1

U pravougoaniku ABCD je BC=AE=AB/3.

Dokazati da je ugao(CAB) + ugao(CEB) = 45 stepeni.

Zadatak je rešiv Euklidskom geometrijom.

Trigonometrijom se rešava trenutno.

Tangens(ugao(CAB) + ugao(CEB)) = (1/3 + 1/2)/(1 - 1/2 * 1/3) = 1.

Uglovi-3.jpg23.77k

Re: Lep zadatak sa uglovima 06.03.2025. u 17:10 · pre 20 meseci #2

Najelegantnije rešenje je preko kompleksne aritmetike. Kada se kompleksni brojevi množe, argumenti im se sabiraju.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Lep zadatak sa uglovima 06.03.2025. u 19:45 · pre 20 meseci #3

Euklid nije znao ni trigonometriju ni kompleksne brojeve.

Ali zanima me rešenje preko kompleksnih brojeva.
Gde se vidi množenje?

Re: Lep zadatak sa uglovima 06.03.2025. u 19:49 · pre 20 meseci #4

Ugao CAB je argument broja 3+i, dok je ugao CEB argument broja 2+i. Pomnoži ta dva broja i dobićeš broj čiji je argument 45 stepeni.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Lep zadatak sa uglovima 07.03.2025. u 07:42 · pre 20 meseci #5

Lepo rešenje.
Dobije se 5+5*i.
Njegov argument je 45 stepeni.

Re: Lep zadatak sa uglovima 17.03.2025. u 14:55 · pre 19 meseci #6

Rešenje pomoću Euklidske geometrije ( VII. razred ).

Van datog pravougaonika odredimo tačku G tako da je EG=AE i $\angle AEG = 90^o$ .
Neka je tačka F središte duži EB, odnosno AE=EF=FB=BC=EG.
Pošto su trouglovi CEB i CAG pravougli, a razmera njihovih kateta je 2:1, ti trouglovi su slični. Sledi da su uglovi naspram dužih kateta podudarni, odnosno
$\angle BCE = \angle CAG \iff \gamma + 45^o = \alpha + 45^o \iff \gamma = \alpha$ .
Ugao $\angle BFC$ je spoljašnji ugao trougla FEC, pa je
$\alpha + \beta = \gamma + \beta = 45^o.$

Ugao iv.png19.73k

Re: Lep zadatak sa uglovima 17.03.2025. u 18:46 · pre 19 meseci #7

To je to.

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme