Upisana kružnica u trouglu

Ovaj teški zadatak za srednjoškolce ovi iz vi osnovne lako rješavaju.Nešto kao u slučaju rubikove kocke.Priča se da je neki učitelj zadao na tabli
ovaj dole zadatak,i prije nego što se okrenuo,jedan iz prve klupe je kažiprstom pokazao svima ostalim rješenje za r=?.Uča je sjeo da čita novine i rekao
da se javi ko nađe rješenje,a onda su svi đaci Vl razredadigli ruku jer su rješili zadatak.

Evo skice:

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Nije ti potrebna nikakva posebna formula. Zadatak je klasicna glavolomka za klince, resava se u dva poteza, a prvi potez si ti vec lepo prikazao:

Sto deca nauce cim im se ispredaje Pitagorina teorema - 3*3 + 4*4 = 5*5. :-)



Znaci, imamo posla s pravouglim trouglom u koji je upisan krug. Ono sto dete takodje nauci u okviru lekcije "4 specificne tacke u trouglu" (gradivo osnovne skole, ne secam se vise kog razreda) - je da se centar upisanog kruga nalazi u preseku simetrala uglova. Oznacimo tu tacku sa O. Ako je krug upisan u trougao, stranice trougla su mu tangente, pa na slici dole duz OB' sece duz AC pod pravim uglom, to jest:

* OB' _|_ AC
* OA' _|_ BC
* OC' _|_ AB

Posto duz OC lezi na simetrali ugla BCA, uglovi BCO = OCA = 45 stepeni, iz cega pa je A'CB'O kvadrat., iz cega sledi da je CB' = CA' = r.

Iz toga sledi da je AB' = b - r, a BA' = a - r.

E sad, ako pogledamo sliku zapazicemo isto tako da duz OA lezi na simetrali ugla CAB, odnosno da je ugao OAB' == uglu OAC', a posto je i OB'A == OC'A = 90 stepeni, iz toga sledi da je B'OA == C'OA, odnosno da su trouglovi AB'O i AC'O podudarni.

Odatle sledi da je AC' = AB' = b - r.

Na veoma slican, posmatrajuci ugao kod temena B i njegovu simetralu, zakljucujemo da su trouglovi OA'B i OC'B podudarni, odnosno da je BC' = BA' = a - r

Posto je AC' + BC' = c, pisemo:

(a - r) + (b - r) = c

iz cega se dobija:

r = (a + b - c)/2

AKo ubacis vrednosti (a, b, c) = (3, 4, 5) dobices da je r = 1.

Pa svaka čast!

Nije bitno da li je trougao pravougli, ako su poznate sve tri stranice, trivijalno je odrediti poluprecnik upisane kruznice.

Ako je centar upisane kruznice O, tada se posmatraju trouglovi AOB, AOC, BOC. Povrsi ovih trouglova zajedno daju povrsinu trougla ABC
Kako je r normalno na stranice a, b i c tada je zbir povrsina ta tri trougla

ra/2+rb/2+rc/2 = rs

Heronov obrazac kaze da je povrsina trougla sqrt( s(s-a)(s-b)(s-c) )

rs = sqrt( s(s-a)(s-b)(s-c) )
s=(a+b+c)/2

Na osnovu uslova zadatka, a, b i c su 3, 4, 5, pa je s=6

6r=sqrt(6*(6-3)(6-4)(6-5) )
6r=sqrt(6*3*2*1)
6r=sqrt(36)
6r=6

pa je r=1

B3R1,rješio si.Ali...

Najprije da ispričam moje sjećanje na taj vi razred.Nama je Ilija Stojaković zadao da kod kuće napravimo od kartona trougao stranica 3,4,5 i one šahovnice nad njima sa 9,16,25 kvadratića.
A onda smo svi uglas pjevali pjesmicu "kvadrat nad hipotenuzom,to zna svako dijete,jednak je zbiru kvadrata nad obe katete" i to nekoliko puta.Poslije nam je još
objasnio da omrznutu tetku nazovemo Hipotenuza,a one omiljene neka se zovu Katete.Da se lakše upamte ove neobične riječi.I onda slijedi ono njegovo "ko zna?"
Ovdje je pitao kolika je površina ovog trougla.Skoro svi smo pomnožili katete i podjelili sa 2.Dakle P=3*4/2=6

Sad imamo mogućnost da tu površinu izrazimo sumom površina tri trougla kojima su baze 3,4,5 a visine r.
P=r(3+4+5)/2=6 Odatle r=1.

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Ponoviću ono što su pojedini članovi konstatovali pre mene. Ovaj zadatak učenici 6. razreda ne mogu da reše računski zato što Pitagorinu teoremu uče u 7. razredu. Taj poluprečnik mogu da odrede samo približno - konstrukcijom.
I još nešto u vezi Milanove konstatacije " Ovaj teški zadatak za srednjoškolce ... ".
Za srednjoškolce je ovaj zadatak " šablonski ", drugim rečima jednostavan ( u mojoj srednjoj školi je bio uslov za dvojku ), zato što srednjoškolci znaju formule za računanje površine trougla pomoću poluprečnika upisane ( opisane ) kružnice ( ne moraju da rešavaju zadatak onako kako je to uradio Berislav ). Čak i malo težu varijantu ( opštiji slučaj, ako trougao nije pravougli ) znaju da urade i prosečni učenici :
Dat je trougao sa stranicama dužine 13, 14 i 15 cm. Izračunati poluprečnik upisane ( opisane ) kružnice ( ili visine; još teža varijanta je ako se traži najkraća, ili najduža visina ).