E, moj Bojane. To je izuzetno duboko pitanje koje zadireu samu Filosofiju Matematike i na koje se ne može dati konačan odgoor.
U okviru teme "šta je Matematika" sam u svom prvom postu pomenuo kontinuum hipotezu koja bi se mogla iskazati ovako:
Citat:
Ne postoji niti jean skup A takav da se niti skup R može 1-1 preslikati u skup A, niti da se skup A može preslikati u skup N.
Drugim rečima, za ma koji skup koji se ne može preslikati 1-1 u skup N postoji 1-1 preslikavanje skupa R u taj skup. U Matematici se skup trenutno dozvoljenih sredstava za dokazivane formalizuje aksiomama i pravilima izvođenjima predikatskog računa prvog reda i aksiomama teorije skupova ZFC. Kurt Gedel je 1938. dokazao da ako je taj sistem aksioma neprotivrečan, da se onda kontinuum hipoteza ne može opovrgnuti (to jest, dokazati njena negacija) u tom sistemu. Pol Koen je 1963. dokzao da ako je taj sistem neprotivrečan, da se onda kontinuum hipoteza u tom sistemu ne može dokazati. Znači, ona ne zavisi od tih aksioma.
No, to i dalje ne znači da je ona uopšte uzevši nerešiva. Navešću jedno tvrđenje za koje je u ZFC sistemu dokazivo da je ekvivalentno sa negacijom kontinuum hipoteze, a koje je intuitivno vrlo prihvatljivo.
Citat:
Za bilo koje preslikavanje f skupa [0,1] u skup svih njegovih najviše prebojivih podskupova postoje brojevi a i b iz skupa [0,1] takvi da a nije u skupu f(b) i b nije u skupu f(a).
Opravdanje ovakvog principa leži u činjenici da pošto su slike brojeva pri ovom preslikavanju najviše prebrojivi skupovi, za fiksirano a je verovatnoća da b bude u skupu f(a) jednaka nuli. Slično tome, za fiksirano b je verovatnoća da a pripada skupu f(b) jednaka nuli. Kada bismo mogli ovde da "proturimo" Fubinijevu teoremu ili Kavaljerijev princip, onda bi skupovi svih parova (a,b) za koje a pripada f(b), odnosno b pripada f(a) bili mere nula, pa bi unija odgovarajućih događaja bio skoro nemoguć događaj. No, onda bi suprotan događaj bio skoro izvestan, pa bi izbor traženih brojeva a i b bio moguć.
Ali ovde je primena Fubinijeve teoreme ili Kavaljerijevog principa nemoguća zato što skup takvih uređenih parova nije merljiv podskup ravni. Zapravo, za dokaz nama treba i manje: da se kvadrat ne može predstaviti kao unija dva skupa od kojih jedan u preseku sa pravama paralelnim x osi daje najviše prebrojive skupove, a drugi da u preseku sa pravama paralelnim y osi daje takođe najviše prebrojive skupove.
No, da bi se odgovorilo da li ta hipoteza zaista važi ili ne važi, morali bismo znati na šta se odnose aksiome teorije skupova. Najlakše je reći "pa na skupove", ali problem je u tome što je pojam skupa jako mističan. Gedelove teoreme nepotpunosti nam govore da taj pojam ne možemo nikada "doreći", tako da je pitanje tačnosti neke hipoteze (ili problem matematičke istine) čvrsto vezano za shvatanje matematičkog univerzuma na koji se to odnosi. Isto važi i za dokazivost, a samim tim i nerešivost.
Štaviše, postoje razni pravci u Matematici (danas su najveći realizam, platonizam, formalizam i intuicionizam) koji predstavljaju razne koncepte zasnivanja Matematike dajući različite odgovore na osnovna pitanja Filosofije Matematike, kao što su pitanje šta su matematički objekti, problem egzistencije (postojanja) u Matematici, problem matematičke istine, dokazivosti itd. Sva ta pitanja su toliko tesno povezana da obično odgovor na bilo koje od njih daje odgovore na sva ostala. Ali to je jako široka tema o kojoj ne mogu ovde da pišem.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Kvadratura kruga????
Re: Kvadratura kruga????
