Proizvod konvergentnih redova

Proizvod konvergentnih redova 08.08.2018. u 13:39 · pre 100 meseci #1

Moze li neko navesti promjer koji pokazuje da proizvod dva konvergentna reda ne mora biti konvergentna red. ?

Hvala unaprijed :)

Re: Proizvod konvergentnih redova 08.08.2018. u 14:22 · pre 100 meseci #2

Kod brojnih redova sa pozitivnim članovima takav primer ne postoji.
Njima se primenom redosleda sumiranja ne menja suma.

Konvergentan*konvergentan = konvergentan.

Za njih važe (konvergentan=K, divergentan=D) stavovi:

1. K+K=K
2. K+D=D
3. D+D=D
4. K*K=K
5. D*D=D
6. K*D=D, jer kod njih je K uvek različito od nule
7. D-K=D

Neodređena je samo sitiacija D-D

Kod alternativnih (naizmeničnih), to jest redova kojima članovi menjaju znak, stvar je komplikovanija.
Njima se promenom redosleda sumiranja, može promeniti suma.
Zato ih zovu đavolski redovi.

Ako su uslovno (semi) konvergentni (po Lajbnicovom, Abelovom ili Dirihleovom kriterijumu), promenom redosleda sumiranja, menja se suma.
Premeštanjem redosleda sumiranja kod semi-konvergentnog alternativnog (đavolskog) reda, može dobiti bilo koja konstanta iz R, čak i divergentan red.
Ako su apsolutno kovergentni, ne menja im se suma.

Može da pomogne:
www.elfak.ni.ac.rs/downloads/nauka/izdavastvo/teorija-redova.pdf

Među njima treba tražiti konstrukciju primera koji tražiš.

Rešenje je možda: red ((-1) na n)/(koren(n)) koji je uslovno konvergentan po Lajbnicovom kriterijumu.
To "uslovno" za njega znači da je konvergentan.

On množen sa samim sobom možda može izazvati divergentan red, ali treba lepo izabrati redosled množenja, da bi bio divergentan.
Bitan je redosled množenja, jer ako nam ostane D-D, to je neodređeno i nije dobar primer.

Re: Proizvod konvergentnih redova 10.08.2018. u 00:38 · pre 100 meseci #3

$a_n=b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ .

$c_n=\sum_{k=1}^{n-1}a_kb_{n-k}=(-1)^n\sum_{k=1}^{n-1}\frac 1{\sqrt{k(n-k)}}$ .

$k(n-k)\leq\frac{n^2}4$ .

$\frac 1{\sqrt{k(n-k)}}\geq\frac 2n$ .

$\sum_{k=1}^{n-1}\frac 1{\sqrt{k(n-k)}}\geq\frac{2(n-1)}n$ .

$c_n$ ne teži nuli.

$\sum_{n=1}^\infty c_n$ divergira.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Proizvod konvergentnih redova 10.08.2018. u 22:55 · pre 100 meseci #4

Genijalno.

Probavao sam razne druge kombinacije, ali mi je stalno ostajalo divergentan minus divergenan, što je neodređeno.
Osim najlogičnije kombinacije, vezane za fiksiran zbir indeksa članova niza An i niza Bn.

Re: Proizvod konvergentnih redova 11.08.2018. u 00:54 · pre 100 meseci #5

U ovom gore primeru NE MOŽEMO reći da $\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}$ divergira, već samo ne znamo da li konvergira, tj. ne zadovoljava Lajbnicov kriterijum konvergencije, ali to ne znači da divergira, već se moraju koristiti neki drugi kriterijumi ili se koristiti kriterijum poređenja sa redovima koji su manji/veći od ovog.
Bar tako mislim da jeste, davno je bilo kad sam ovo učio na faksu.

Potom, drugi korak nije dobar, jer čemu je jednako $c_1$ , već bi trebalo da stoji:
$c_{n} = \sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{n-k+1}$
međutim, to ne menja mnogo rezultat.

Ako se napravi tabela koja u prvoj koloni (osim prvog elementa prve vrste) sadrži članove reda $a_{n}$ , a u prvoj vrsti (osim elementa prve kolone) sadrži članove reda $b_{n}$ , dok se u ostalim poljima tabele nalaze proizvodi elemenata početnog niza koji se nalaze u na početku te vrste i kolone, tada elementi reda $c_{n}$ predstavljaju redom (koordinate u tabeli su date ne računajući prvu vrstu i kolonu):
$c_{1}$ - element na poziciji 1-1 $a_{1}b_{1}$
$c_{2}$ - suma elemenata 1-2 i 2-1 $a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}$
$c_{3}$ - suma elemenata 1-3, 2-2 i 3-1 $a_{1}b_{3}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{1}$
$\quad\vdots$

Dakle, k-ti element novog reda je suma elemenata na liniji paralelnoj sporednoj dijagonali koja sadrži elemente $a_{k}, b_{k}$ .

Međutim, šta ako kažemo da je $c_{n}=a_{n}S_{b}=b_{n}S_{a}$ (svaki član novog reda je suma elemenata po vrsti ili po koloni tabele), tada se može primeniti Lajbnicov kriterijum i novi red konvergira.

Dakle, kako god menjali redosled sumiranja, ne možemo dokazati da proizvod dva polazna reda divergira, nego samo možemo namestiti opšti član tako da za njega ne važi Lajbnicov kriterijum, ali to nije dokaz da taj red divergira.

Možda sam negde pogrešio u ovom zaključivanju, pa ako neko primeti, neka me ispravi.

Potpis

Blessed are those who can laugh at themselves, for they shall never cease to be amused.

Re: Proizvod konvergentnih redova 11.08.2018. u 08:01 · pre 100 meseci #6

Pre bilo kog kriterijuma ide definicija.

Opšti član niza Cn ne teži nuli.
Ta izjava povlači da red divergira, po definiciji.
Da li će red da divergira određeno ka + ili -beskonačno, ili će neodređeno da divergira, nevažno je u konstrukciji ovog primera.

Nepotreban je Lajbnicov kriterijum koji je neodlučiv.

Moglo je i bez prepravke indeksa i brojača, jer je c1 definisan i iznosi nula.

Re: Proizvod konvergentnih redova 26.08.2018. u 20:55 · pre 100 meseci #7

Može da se definiše $c_n$ ovako kako sam ga definisa, s tim da onda $n$ ide od $2$ pa nadalje kod $c_n$ . Dakle, jedina neophodna ispravka je da red $\sum_{n=2}^\infty c_n$ divergira.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme