Konvergencija integrala

Konvergencija integrala 30.08.2017. u 01:04 · pre 112 meseci #1

pozdrav. treba mi pomoć oko pomenutog u naslovu:
traži se apsolutna i uslovna konvergencija integrala: $\int_{0}^{ \infty} x^{ \alpha-2} \sin \frac{1}{x} dx$ u zavisnosti od alfa.
kada sam rešavao apsolutnu konvergenciju, radio sam preko poredbenih kriterijuma i dobio da ne konvergira apsolutno (disjunktni su mi skupovi od prvog integrala koji ide od 0 do 1, i od integrala koji ide od 1 do beskonačno).
da bih ispitao uslovnu konvergenciju, u prvom integralu koji ide od 0 od 1 sam pustio limes u 0+ i dobio konačnu vrednost - integral mi konvergira. u drugom integralu sam koristio asimptotiku i dobio da integral konvergira za alfa<2.
ako negde grešim, ako bi neko mogao, neka me ispravi, bio bih jako zahvalan.
da li ako postoji limes, kada nepoznata teži singularitetu, uvek važi da integral konvergira?
hvala unapred i izvinjavam se ako nisam bio dovoljno razumljiv.

Re: Konvergencija integrala 30.08.2017. u 02:22 · pre 112 meseci #2

Matematika se izrazava formulama. Da si ispisao u matematickom jeziku ovo sto si napisao mogao bi biti i razumljiv.

edit: al ajde da probram. Posto je odredjeni integral vrednost povrsine ispod f-je, pretpostavljam da ta alpha predstavlja vrednost na x osi dok je vrednost povrsine/integrala y.
Tu sad imas funkciju za koju trazis asimptote?

Re: Konvergencija integrala 30.08.2017. u 05:58 · pre 112 meseci #3

Pazi naslova Teme: Konvergencija Integrala ???!!!

Svaka vam Čast ! .....nista Vas ne razumem

( 'el Vi pricate na Peruanskom ??? )
------------------------------------------------------

Ja sam mislio da su:

-Anal-Digital Osciloskopi,
-3D Multi-Slajsni Skeneri,
- i FULL HD Magnetna Rezonansa, sa 2 Tesla jacine polja,

...vrh vrhova.

Ali, sad se me pokolebali nacisto, i to TOTALE !

......idem, da se tuširam hladnom vodom.....

Re: Konvergencija integrala 30.08.2017. u 08:23 · pre 112 meseci #4

Smenom $t=x^{-1}$ dobijamo

$\int_0^1x^{\alpha-2}\sin(1/x)\,dx=\int_0^\infty t^{2-\alpha}\sin(t)t^{-2}\,dt=\int_0^\infty\frac{\sin(t)}{t^\alpha}\,dt$ .

Deo od 0 do 1 konvergira apsolutno za $\alpha<2$ po Poredbenom kriterijumu. Podintegralna funkcija se može predstaviti kao proizvod funkcije $\frac{\sin(x)}x$ i funkcije $t^{1-\alpha}$ . Pošto je funkcija na njemu nenegativna, apsolutna i obična konvergencija se poklapaju.

Deo od 1 do beskonačno konvergira obično za $\alpha>0$ po Dirihleovom kriterijumu. Za $\alpha\leq 0$ divergira jer nije ispunjen neophodan uslov konvergencije. Postoje $\varepsilon>0$ i intervali proizvoljno udaljeni od nule na kojima funkcija ne menja znak, a integral joj je po apsolutnoj vrednosti veći od $\varepsilon$ , pa divergira po Košijevom kriterijumu.

Od 1 do beskonačno integral apsolutno konvergira za $\alpha>1$ po Dirihleovom kriterijumu. Za $\alpha\leq 1$ ne konvergira apsolutno jer je apsolutna vrednost funkcije pomnožene sa $t$ odozdo ograničena pozitivnom konstantom $\varepsilon$ na intervalima $(k\pi-1,k\pi+1)$ , pa je integral apsolutne vrednosti funkcije na takvim intervalima nije manji od $\varepsilon\int_{k\pi-1}^{k\pi+1}\frac{dt}{t}>\frac{\varepsilon}{k\pi-1}$ , što znači da integral nije manji od $\sum_{k=1}^\infty\frac{\varepsilon}{k\pi-1}=\infty$ .

Konačno, integral od 0 do beskonačno konvergira za $0<\alpha<2$ , divergira za sve ostale vrednosti, dok apsolutno ne konvergira nikad, pa je konvergencija uslovna za sve vrednosti $\alpha\in(0,2)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Konvergencija integrala 30.08.2017. u 08:28 · pre 112 meseci #5

Još nešto, postavljač teme je dobro postavio zadatak. Radi se o parametarskom nesvojstvenom integralu. Treba ispitati konvergenciju u zavisnosti od realnog parametra $\alpha$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Konvergencija integrala 30.08.2017. u 10:26 · pre 112 meseci #6

Kom integralu?
Covek je pitao da li ako postoji limes onda integral konvergira a ti si postavio nekakvu teoremu za 5 minuta ;)

Re: Konvergencija integrala 30.08.2017. u 10:29 · pre 112 meseci #7

Drago mi je, da ste tako Aktivni !

Uuufff, sto volim da citam Pametne ljude....

Re: Konvergencija integrala 30.08.2017. u 14:31 · pre 112 meseci #8

Branimir Maksimović

Hajde, pogledaj šta je to konvergencija nesvojstvenog integrala. Rezultat graničnog procesa je realan broj.

Obična konvergencija je konvergencija funkcije

$I(a,b)=\int_a^bf(x)\,dx$

kada $a\rightarrow 0+$ i $b\rightarrow\infty$ .

Ovde je tako zato što su nula i beskonačnost singulariteti. Beskonačnost zato što nije konačna, a nula zato što u njenoj blizini funkcija nije ograničena. Kada je ograničena u okolini nule, opet nam ne smeta da umesto konačnog skupa singulariteta razatramo neki njegov konačan nadskup. Višak ništa ne menja.

Apsolutna konvergencija nesvojstvenog integrala je to isto do na zamenu podintegralne funkcije njenom apsolutnom vrednošću. Uslovna konvergencija nesvojstvenog integrala je obična konvergencija, a da nije apsolutna.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Konvergencija integrala 30.08.2017. u 15:00 · pre 112 meseci #9

Ne moram da gledam , jel mogu sam da zakjucim da je to asimptota f-je integrala po nekom parametru gde je parametar na x osi;)
dakle tu moze da bude vertikalna,horizontalna i kosa asimptota, a moze i da je nema...
Odgovor na pitanje je da ako postoji asimptota onda integral konvergira.

Re: Konvergencija integrala 30.08.2017. u 16:54 · pre 112 meseci #10

Ne. Funkcija I(a,b) ima dve promenljive i radi se o limesu.

https://en.wikipedia.org/wiki/...al#Convergence_of_the_integral

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Konvergencija integrala 30.08.2017. u 23:57 · pre 112 meseci #11

Kako si ti ovo video iz njegovoga posta iz beyond me ;)
Mada verujem da na osnovu terminologije si zakljucio da je to to...

Re: Konvergencija integrala 10.09.2017. u 18:58 · pre 111 meseci #12

Zadatak je ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju integrala u zavisnosti od parametra.

Ako ne poznaješ materiju, onda nije čudo što nisi razumeo. Inače, ovo je tip zadataka iz analize 2.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme