Sistem jednacina

Sistem jednacina 18.02.2017. u 16:00 · pre 118 meseci #1

Da li sistem
x^3=2y-1
y^3=2z-1
z^3=2x-1
ima jos neko resenje osim(1,1,1)?

Re: Sistem jednacina 18.02.2017. u 19:05 · pre 118 meseci #2

Ima

$x=y=z=\frac{-1\pm\sqrt 5}{2}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Sistem jednacina 26.02.2017. u 21:17 · pre 118 meseci #3

Ovo je iz glave ili ima postupak?
Vrtim se bez ideje za postupak.

Pokušao sam:

1. Smenu: x-1=a, y-1=b i z-1=c, zbog očiglednog rešenja (1,1,1) i da bih dobio nule na desnoj strani, ali ništa.

2. Njutnove i Vijetove formule, ali ništa.

Nisam pokušao direktno, jer mi polinom devetog stepena ne obećava ništa lepo.

Re: Sistem jednacina 26.02.2017. u 22:23 · pre 118 meseci #4

Sve je ovo "jako simetrično". Liči da postoje rešenja oblika (a,a,a). Pošto je (1,1,1) jedno rešenje, zameni u bilo kojoj jednačini nepoznate sa a. Pošto je polinom deljiv sa (a-1) ostaje ti kvadratna jednačina čije su nule ono što je Nedeljko napisao.

Re: Sistem jednacina 27.02.2017. u 08:34 · pre 118 meseci #5

To su sva realna rešenja.

$x=\frac{1+z^3}2$ ,
$y=\frac{1+x^3}2$ ,
$z=\frac{1+y^3}2$ .

Za $f(t)=\frac{1+t^3}2$ važi

$x=f(z)=f(f(y))=f(f(f(x)))$ . Dakle,

$f(f(f(x)))-x=0$ .

Navedeni polinom ima samo tri realne nule.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Sistem jednacina 27.02.2017. u 14:28 · pre 118 meseci #6

Đoko slažem se da ako su jednaki onda su realna rešenja one tri realne uređene trojke koje je Nedeljko napisao.
Time nismo dokazali da ako nisu jednaki, da nema realnih rešenja.

Mislio sam da ima neko elegantnije rešenje.

Tek sad vidim da će peške biti polinom 27-og stepena.
Ništa, formiraću ga, pa ga delim sa X^3-2*X+1.
Dobiće se polinom 24-tog stepena.
Valjda će moći da se dokaže da on nema realnih nula.
Videćemo.

Re: Sistem jednacina 28.02.2017. u 03:27 · pre 118 meseci #7

Ima jedan program koji se zove wxMaxima.

http://maxima.sourceforge.net/

Evo šta kaže:

$f(x)=(x^3+1)/2$
$f(f(f(x)))-x=\[\frac{4825-8192\cdot x+729\cdot {{x}^{3}}+972\cdot {{x}^{6}}+756\cdot {{x}^{9}}+486\cdot {{x}^{12}}+270\cdot {{x}^{15}}+108\cdot {{x}^{18}}+36\cdot {{x}^{21}}+9\cdot {{x}^{24}}+{{x}^{27}}}{8192}$

Faktorizacija je

$(x-1)(-1+x+x^2)(4825+1458\cdot x+2916\cdot {{x}^{2}}+1736\cdot {{x}^{3}}+2014\cdot {{x}^{4}}+1112\cdot {{x}^{5}}+1460\cdot {{x}^{6}}+906\cdot {{x}^{7}}+700\cdot {{x}^{8}}+696\cdot {{x}^{9}}+486\cdot {{x}^{10}}+272\cdot {{x}^{11}}+334\cdot {{x}^{12}}+182\cdot {{x}^{13}}+92\cdot {{x}^{14}}+120\cdot {{x}^{15}}+58\cdot {{x}^{16}}+24\cdot {{x}^{17}}+36\cdot {{x}^{18}}+14\cdot {{x}^{19}}+4\cdot {{x}^{20}}+8\cdot {{x}^{21}}+2\cdot {{x}^{22}}+{{x}^{24}})/8192$ .

Naravno, nas zanima deo

$4825+1458\cdot x+2916\cdot {{x}^{2}}+1736\cdot {{x}^{3}}+2014\cdot {{x}^{4}}+1112\cdot {{x}^{5}}+1460\cdot {{x}^{6}}+906\cdot {{x}^{7}}+700\cdot {{x}^{8}}+696\cdot {{x}^{9}}+486\cdot {{x}^{10}}+272\cdot {{x}^{11}}+334\cdot {{x}^{12}}+182\cdot {{x}^{13}}+92\cdot {{x}^{14}}+120\cdot {{x}^{15}}+58\cdot {{x}^{16}}+24\cdot {{x}^{17}}+36\cdot {{x}^{18}}+14\cdot {{x}^{19}}+4\cdot {{x}^{20}}+8\cdot {{x}^{21}}+2\cdot {{x}^{22}}+{{x}^{24}}$

Ima više načina da se dokaže pozitivnost polinoma. Jedan je Šturmova teorema

https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm's_theorem

Drugi način je preko intervalne aritmetike.

Neka je dat realan (ili čak kompleksan) polinom $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$

Ukoliko je $R>0$ takvo da je $|a_n|R^n>|a_{n-1}|R^{n-1}+\cdots+|a_0|$ , onda za $|x|\geq R$ važi $p(x)\neq 0$ , odnsono sve nule polinoma $p$ nalaze se u disku $B(0,R)$ . Na realnoj pravoj je to interval $(-R,R)$ .

Da bi se dokazalo da realan polinom nema realnih nula, dovoljno je dokazati da ih nema u tom intervalu.

Interval je moguće podeliti na male intervale $[-R+nh,-R+(n+1)h]$ . Da bi se dokazalo da u tom intervalu nema nula, dovoljno je izračunati interval kome mora pripasti vrednost $p(x)$ ako $x\in[-R+nh,-R+(n+1)h]$ . To se postiže uobičajenim intervalnim pravilima za sabiranje, oduzimanje i množenje. Ako je $p(a)\neq 0$ , onda se za dovoljno uzak interval $I$ oko $a$ može dokazati da vrednosti $p(x)$ za $x\in I$ pripadaju nekom intervalu $J$ koji ne sadrži nulu. Bitno je samo da je podela dovoljno sitna.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme