Pokazati da je f polinom

Re: Pokazati da je f polinom 11.06.2013. u 10:06 · pre 163 meseca #21

$\phi(x)=f^{(1)}\cdot{f^{(2)}\cdot{f^{(3)}}\cdots\cdot{f^{(n)}}=0$
(ako postoji,i u skladu sa zahtjevom zadatka)
Uočimo izvod najnižeg reda koji siječe osu x,neka je to naprimjer prvi izvod.

Prvi izvod gornje funkcije možemo napisati:

$\phi^{(1)}(x)=f^{(2)}\cdot({f^{(2)}}\cdot{f^{(3)}}\cdots\cdot{f^{(n)}})+f^{(1)}\cdot({f^{(2)}}\cdot{f^{(3)}}\cdots\cdot{f^{(n)}})^{(1)}=0$
Slijedi zaključak da je i drugi izvod jednak nuli za istu tačku jer svi ostali izvodi nisu jednaki nuli u toj tački.

Možemo odabrati bilo koji x i naći koji izvod tu ima nulu.Istim načinom dokazali bi da i izvod tog izvoda,dakle sledeći takođe tu mora imati nulu.

Uzmemo li samo neko područje na R,pa još neke okolo priče,dotjerali bi do toga
da n-ti izvod prolazi kroz sve tačke,u svakoj tački je nula.A to znači da je
$f^{(n)}(x)=0$ ,n-ti izvod polinoma n-tog stepena.

(nešto bi se dalo muljati oko nekih ograđivanja,preciziranja,te šta ako u onom prvom koraku više funkcija ima nultačku baš tu,te ovo te ono i druge stvari.Ja to ne želim niti znam raditi.)

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Re: Pokazati da je f polinom 11.06.2013. u 10:26 · pre 163 meseca #22

Citat:

zzzz: $\phi(x)=f^{(1)}\cdot{f^{(2)}\cdot{f^{(3)}}\cdots\cdot{f^{(n)}}=0$
(ako postoji,i u skladu sa zahtjevom zadatka)

To nije zahtev zadatka. Zahtev zadatka je da za svako $x$ postoji po neko $k$ , za koje je $f^{(k)}(x)=0$ i nigde ne piše da postoji neko $n$ takvo da je uvek $k\leq n$ .

Ako misliš da takav konačan proizvod postoji, onda to dokaži.

Bojane, izgleda da ja ne mogu da mu objasnim, pa pomozi.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pokazati da je f polinom 11.06.2013. u 13:03 · pre 163 meseca #23

Da se razumemo, obzirom da iz uslova sledi da je funkcija polinom (što treba dokazati), izvod nekog reda koji je konstantno jednak nuli postoji, pa samim tim i taj proizvod. Međutim, to treba dokazati.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pokazati da je f polinom 13.06.2013. u 16:20 · pre 163 meseca #24

Citat:

neka je $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ beskonacno diferencijabilna funkcija i neka za svako $x \in \mathbf{R}$ postoji $n\in\mathbf{N}$ takvo da je $f^{(n)}(x)=0$ $n$ -ti izvod funkcije).
Pokazati da je tada $f$ polinom.

Zahtev zadatka je da za svako $x$ postoji po neko $n$ , za koje je $f^{(n)}(x)=0$ i nigde ne piše da postoji neko $m$ takvo da je uvek $n\leq m$ .

Uvedimo baš taj,po volji velik prirodan broj $m$ koji je jednak najvećem $n$ .Nužan i dovoljan uslov da je $f$ polinom $m$ -tog reda je ako vrijedi $f^{(m)}(x)=0$ za svako $x \in \mathbf{R}$
Bojane, izgleda da ja ne mogu da mu objasnim, pa pomozi.

$f^{(m-1)}(x)=0$ -ti izvod i svi ostali prije njega nisu u potpunosti pokrili $R$ skup,ali je to sledeći izvod napravio.
Nije lijepo da je prazan,mada neki prethodni mogu biti.
Ajmo sada na početak,sa skupovima nula prvog i drugog izvoda.Neka prvi pokriva djelić od $R$ ,a drugi izvod malo poveća taj prostor novim nulama.Uvedimo ovakvu funkciju $\phi(x)=f^{(1)}\cdot{f^{(2)}$ na tom prostoru i zaključimo da će ova funkcija imati vrijednost nula na njemu.
Prvi izvod takve funkcije takođe je nula.Iz tog izvoda $\phi^{(1)}(x)=0$ se vidi i da je drugi izvod ${f^{(2)}$ nula na cijelom tom prostoru.Nule prvog izvoda su komplet sadržane u nulama drugog izvoda pa ga odbacimo.

Prema tački 6 pravilnikaneću tjerati do kraja.Predlažem da to neko kritički i preciznije objasni ili odbaci.

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Re: Pokazati da je f polinom 13.06.2013. u 18:19 · pre 163 meseca #25

Citat:

zzzz: Uvedimo baš taj,po volji velik prirodan broj $m$ koji je jednak najvećem $n$ .

Samo još dokaži da postoji najveći $n$ . Onda je trivijalno. Samo taj detalj fali. Dokaži da nije iskorišćeno beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ .

Citat:

zzzz: Bojane, izgleda da ja ne mogu da mu objasnim, pa pomozi.

Bojane, uključuj se!

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pokazati da je f polinom 13.06.2013. u 21:55 · pre 163 meseca #26

@zzzz:

Nedeljko je u pravu. Da probam i ja objasniti u čemu je problem s tvojom idejom. Zamisli da je zadata funkcija $f$ takva da važi $f^{(12)}(1)=0$ (gde ovo ne važi za izvode reda manjeg od $12$ ), zatim $f^{(34)}(2)=0$ (gde je $34$ najmanji red), zatim $f^{(56)}(3)=0$ , pa $f^{(78)}(4)=0$ itd. Poenta je, dakle, da bi se možda moglo desiti da ne postoji to tvoje najveće $m$ koje planiraš da uzmeš; koliko god da uzmeš velik prirodan broj $m$ , da ti u nekoj tački zapravo ipak treba izvod većeg reda od toga što si uzeo.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Pokazati da je f polinom 13.06.2013. u 23:25 · pre 163 meseca #27

zzzz

Pokušaj da oboriš mogućnost da za sve $n\in N$ važi $f^{(k)}(n)=0\Leftrightarrow k\geq n$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pokazati da je f polinom 19.01.2017. u 13:16 · pre 119 meseci #28

Evo malo kraćeg rešenja.

Neka je $F_n=\{x\in R\,|\,(\forall k\geq n)f^{(k)}(x)=0\}$

Očigledno je za svako $n$ skup $F_n$ zatvoren. Takođe, $\bigcup_{n\in\mathbb N}F_n=R$ . Iz Berove teoreme o kategorijama sledi da za svaki neprazan otvoren interval $I$ postoje $n$ i neprazan interval $J\subseteq I$ takvi da je $J\subseteq F_n$ . Pošto je $f^{(n)}(x)=0$ za sve $x\in J$ , funkcija $f$ je polinom stepena ne većeg od $n$ na skupu $J$ .

Neka su $I,J$ ma koji neprazni otvoreni intervali takvi da je $I\subseteq J$ i neka su $p,q$ ma koji polinomi i neka je $f=p$ na skupu $I$ i $f=q$ na skupu $J$ . U tom slučaju, polinomi $p$ i $q$ se poklapaju na intervalu $I$ , odnosno na beskonačnom skupu tačaka. Polinomi koji su jednaki u beskonačno mnogo tačaka se poklapaju, pa važi $p=q$ .

Neka je $I$ ma koji interval na kome je funkcija $f$ polinomijalna i neka je $p$ polinom takav da je $f=p$ na $I$ . Na ma kom intervalu $J\supseteq I$ na kome je funkcija $f$ polinomijalna važi $f=p$ , pa je $f=p$ na uniji svih intervala koji sadrže interval $I$ i na kojima je funkcija polinomijalna. Stoga je svaki otvoren interval na kome je funkcija $f$ polinomijalna sadržan u nekom maksimalnom otvorenom intervalu na kome je funkcija polinomijalna.

Različiti maksimalni intervali na kojima je funkcija polinomijalna ne mogu se preklapati jer bi presek ta dva intervala bio interval na kome je funkcija $f$ polinomijalna, pa bi bila jednaka istom polinomu na oba ta maksimalna intervala, kao i na njihovom preseku, odnosno bila bi polinomijalna na uniji ta dva maskimalna intervala suprotno njihovoj maksimalnosti.

Neka je $F$ komplement unije svih maksimalnih otvorenih intervala na kojima je funkcija $p$ polinomijalna. Očigledno je zatvoren.

Skup $F$ nema izolovanih tačaka. U suprotnom, postojalo bi neko $x\in F$ takvo da je $f$ polinomijalna u bar nekoj levo poluokolini od $x, kao i u nekoj desnoj poluokolini od x$ . Postojalo bi neko $n$ takvo da je $f^{(n)}=0$ na nekoj okolini od $x$ suprotno uslovu maksimalnosti intervala sa svake strane od $x$ .

Ako je skup $F$ neprazan, on kao neprazan zatvoren podskup kompletnog metričkog prostora čini kompletan metrički prostor. Obzirom da je $F=\bigcup_{n\in N}(F_n\cap F)$ , i da su skupovi $F_c\cap F$ zatvoreni u $F$ , postoji interval $I$ i $n$ takvi da je $\emptyset\neq I\cap F\subseteq F_n\cap F$ . Dakle, $f^{(m)}=0$ na $I\cap F$ za sve $m\geq n$ .

Neka je $J$ maksimalan otvoreni podinterval od $I\setminus F$ . Na njemu je funkcija $f$ jednaka polinomu nekog stepena $k$ . Ukoliko to nije nula polinom, važi da je $f^{(k)}$ konstanta različita od nule na intervalu $J$ . No, zbog neprekidnosti i jednakosti $f^{(m)}=0$ za sve $m\geq n$ u bar jednoj od krajnjih tačaka intervala $J$ (jer barem jedna pripada skupu $f$ ), važi $k<n$ . Dakle, na svakom od takvih intervala je $f^((n))=0$ , pa pošto to važi i na skupu $F$ , važi i na uniji, odnosno na celom intervalu $I$ , odakle je funkcije $f$ polinomijalna na $I$ , što je u suprotnosti sa $I\cap F\neq\emptyset$ .

Dakle, $F=\emptyset$ , pa je funkcija $f$ polinomijalna.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme