Diferencijabilnost funkcije dveju promenljivih

Diferencijabilnost funkcije dveju promenljivih 13.01.2015. u 07:54 · pre 144 meseca #1

Funkcija je zadata sa:

$F(x,y)=\frac{xy(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)}$ $za (x,y)<>(0,0)$ i
$F(0,0) = 0$

Ispitati diferencijabilnost u tački (0,0).

Po definiciji dobijam da jeste diferencijabilna.
Čak, mislim i da su parcijalni izvodi Fx i Fy neprekidne funkcije u tački (0,0), pa i po teoremi sledi diferencijabilnost.

U zbirci urade mešovite parcijalne izvode drugog reda u tački (0,0).
Dobija se, bez greške, da je:
Fxy(0,0) = -1
Fyx(0,0) = +1.
Pošto su različiti, zaključuju da funkcija nije diferencijabilna u tački (0,0).
Na osnovu čega?
Ko greši?

Re: Diferencijabilnost funkcije dveju promenljivih 13.01.2015. u 10:13 · pre 144 meseca #2

Izvod po $x$ je

$\frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}=y\left(\left(\frac{x^2}{x^2+y^2}\right)^2+\left(\frac{2xy}{x^2+y^2}\right)^2-\left(\frac{y^2}{x^2+y^2}\right)^2\right)$ .

Obzirom da je svaki od sabiraka unutar zagrada ograničen jedinicom, parcijalni izvod po $x$ je po apsolutnoj vrednosti ograničen sa $|2y|$ , pa je neprekidan u tački $(0,0)$ , tako da je tvoje rešenje tačno.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: Diferencijabilnost funkcije dveju promenljivih 13.01.2015. u 11:20 · pre 144 meseca #3

Hvala Nedeljko.

Re: Diferencijabilnost funkcije dveju promenljivih 14.01.2015. u 09:19 · pre 144 meseca #4

E, da, moje rešenje je nepotpuno. Neophodno je obrazložiti i neprekidnost u tački $(0,0)$ što sledi iz

$|F(x,y)|\leq\frac{|x^2-y^2|}2$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Diferencijabilnost funkcije dveju promenljivih 02.01.2017. u 22:36 · pre 120 meseci #5

Izvinjavam se, ali evo je i trećeg izdanja zbirke (skripte) i autori opet tvrde da nije diferencijabilna.

Urade mešovite parcijalne izvode drugog reda u tački (0,0).
Dobija se, bez greške, da je:

Fxy(0,0) = -1

Fyx(0,0) = +1.

Pošto su mešoviti izvodi različiti, zaključuju da funkcija nije diferencijabilna u tački (0,0).

Teorema o jednakosti mešovitih drugih izvoda ima zahtev neprekidnosti prvih izvoda.
Ali ne i uslov diferencijabilnosti.

Pošto je Nedeljko obrazložio neprekidnost izvoda po x, mora da pada neprekidnost izvoda po y.
Ili pada teorema o jednakosti mešovitih izvoda.
Ili pada interpretacija teoreme o jednakosti mešovitih izvoda od strane autora zbirke.

Po definiciji se dobija da je funkcija diferencijabilna.

Ajde da pogledamo izvod po $y$ .

$\frac{x(x^4-4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2$

Ako bi i ovo bila neprekidna funkcija u (0,0) ne bi smeli mešoviti izvodi da budu različiti?
Ili bi smeli?

Re: Diferencijabilnost funkcije dveju promenljivih 03.01.2017. u 19:35 · pre 120 meseci #6

Neprekidan je i izvod po y.

Teorema o jednakosti mešovitih izvoda drugog reda ne zahteva neprekidnost parcijalnih izvoda prvog reda.
Samo njihovo postojanje.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme