Potrebna literatura

Potrebna literatura 28.11.2016. u 10:50 · pre 121 mesec #1

Jedan od temelja matematike je odnos skupa Q i skupa R.

Teorema (stav, aksima...) glasi: "Skup Q svuda gust u skupu R".

Što znači da se proizvoljnoj okolini proizvoljnog x iz skupa R nalazi y iz Q.
Ekvivalentno je da sa "između bilo koja dva realna broja postoji racionalan broj".

Nikada nisam video dokaz istog, a sam ne znam da ga konstruišem.

Potrebna mi je informacija o literaturi gde je isto dokazano.

Re: Potrebna literatura 28.11.2016. u 17:12 · pre 121 mesec #2

To zavisi od toga šta izabereš za aksiomu (ili aksiome) neprekidnosti.

Aksioma supremuma (S): Svaki neprazan odozgo ograničen podskup od $R$ ima supremum u $R$ .

Dedekindova aksioma (D): Ako je skup $R$ disjunktna unija nepraznih skupova $A$ i $B$ , pri čemu je svaki element skupa $A$ manji od svakog elementa skupa $B$ , onda postoji realan broj $c$ takav da su svi realni brojevi manji od $c$ članovi skupa $A$ , a svi realni brojevi veći od $c$ članovi skupa $B$ .

Arhimedova aksioma (A): Za ma koje $a,b\in R$ , $a,b>0$ postoji $n\in N$ takav da je $na>b$ .

Kantorova aksioma (K): Ma koji beskonačan niz $I_n$ nepraznih ograničenih zatvorenih intervala takav da je $(\forall n\in N)I_{n+1}\subseteq I_n$ ima neprazan presek, odnosno $(\exists c\in R)(\forall n\in N)c\in I_n$ .

Važi da je (S) ekvivalentno sa (D), odnosno sa konjunkcijom (A) i (K).

(D) povlači (S):

Neka je $X$ odozgo ograničen podskup od $R$ i neka je

$A=\{a\in R\,:\,(\exists x\in X)a<x\}$ ,
$B=R\setminus A$ .

Pošto za $x\in X$ važi $x-1\in A$ i ma koja majoranta skupa $X$ pripada skupu $B$ , skupovi $A$ i $B$ su neprazni. Očiglednosu disjunktni i unije im je $R$ . Ako $a\in A$ i $b\in B$ , onda postoji $x\in X$ takav da je $a<x$ . Zbog $b\not\in A$ ne može biti $b<x$ , pa je $a<x\leq b$ odnosno $a<b$ . Neka je $c\in R$ kao iz (D). Neka $c$ nije majoranta od $X$ i neka je $x\in X$ takvo da je $c<x$ . Onda za $d=(c+x)/2$ važi $c<d<x$ . Zbog $d<x\in X$ važi $d\in A$ , a zbog $c<d$ važi $d\in B$ . Ta kontradikcija dokazuje da je $c$ majoranta od $X$ . Ukoliko bi neko $e<c$ bilo majoranta, postojalo bi $x\in X$ takvo da je $e<x$ suprotno tome da je $c$ majoranta od $X$ . Stoga je $c$ supremum skupa $X$ .

S povlači D:

Ako važi S i A i B su skupovi kao u D, onda je skup A neprazan i odozgo ograničen, pa ima supremum c. Obzirom da je c majoranta od A, veći elementi od c ne mogu pripadati skupu A, pa pripadaju skupu B. Ako bi neki realan broj manji od c pripadao skupu B, onda bi i on bio majoranta skupa A, pa c ne bi bila najmanja majoranta (supremum). Prema tome, realni brojevi manji od c ne mogu pripdatai skupu B, pa pripadaju skupu A.

D povlači A:

Neka važi D i ne važi A. Neka su a i b takvi pozitivni realni brojevi da za sve prirodne brojeve n važi da je na manje ili jednako od b. Neka je A skup svih realnih brojeva x takvih da je x<na za bar jedan prirodan broj n i neka je B komplement skupa A. Pošto b ne pripada skupu A, b pripada skupu B. Takođe, a pripdada skupu A jer je a manje od 2a. Skup R je disjunktna unija nepraznih skupova A i B. Neka je x element skupa A i y element skupa B. Neka je n prirodan broj takav da je x<na, što je manje ili jednako od y, važi x<y. Neka je c razdva

(S) povlači (A):

Neka važi (S) i ne važi (A). Neka su $a,b>0$ takvi da $(\forall n\in\mathbb N)na\leq b$ . Skup

$X=\{na\,:\,n\in\mathbb N\}$ .

Skup $X$ je neprazan zbog $a\in X$ a odozgo ograničen jer mu je $b$ majoranta. Stoga ima supremum $s$ . Zbog $s-a<s$ broj $s-a$ nije majoranta skupa $X$ pa postoji $n\in\mathbb N$ takvo da je $na>s-a$ , odnosno $(n+1)a>s$ , što je u suprotnosti sa tim da je $s$ supremum skupa $X$ .

(S) povlači (K):

Neka je $I_n$ inkluzijski nerastući niz nepraznih ograničenih zatvorenih intervala i neka je $I_n=[a_n,b_n]$ . Zbog $I_n\neq\emptyset[/tex[ važi a_n\leq b_n$ . Zbog $I_{n+1}\subseteq I_n$ i $a_{n+1},b_{n+1}\in I_{n+1}\subseteq I_n$ važi $a_{n+1},b_{n+1}\in I_n$ , odnosno $a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n$ , pa je niz $a_n$ neopadajući i za svako $k\in N$ broj $b_k$ je majoranta niza $a_n$ (jer je $a_n\leq a_m\leq b_m\leq b_k$ za ma koje $m>n,k$ ). Stoga je skup $X=\{a_n\,:\,n\in\mathbb N\}$ nepraznan i odozgo ograničen, pa ima supremum $a$ , koji ne prelazi nijednu majorantu, pa ni $b_n$ . Stoga je $(\forall n\in\mathbb N)a_n\leq a\leq b_n$ , odnosno $(\forall n\in\mathbb N)a\in I_n$ .

(A) i (K) povlači (D):

Neka su $A$ i $B$ kao u (D). Za $a\in A$ i $b\in B$ važi $a<b$ i konstruišimo nizove $a_n,b_n,c_n$ na sčedeći način:

$a_0=a$ , $b_0=b$ ,

$c_n=(a_n+b_n)/2$ .

Ako je $c_n\in A$ , onda je $a_{n+1}=c_n$ i $b_{n+1}=b_n$ .

Ako je $c_n\in B$ , onda je $a_{n+1}=a_n$ i $b_{n+1}=c_n$ .

Niz $a_n$ je neopadajući, a niz $b_n$ nerastući, pri čemu je $a_n\in A$ , $b_n\in B$ i $[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq[a_n,b_n]$ . Stoga postoji neko $x$ koje pripada svakom od intervala $[a_n,b_n]$ . Takođe je $b_n-a_n=(b-a)/2^n$ .

Neka je $u<x$ . Pošto je $x-u>0$ postoji $n\in\mathbb N$ takvo da je $2^n(x-u)>b-a$ , pa je $x-u>b_n-a_n$ zbog čega ne mogu oba od brojeva $x$ i $u$ da pripadaju intervalu $[a_n,b_n]$ . Obzirom da $x\in[a_n,b_n]$ [/tex] zaključujemo da $u\not\in[a_n,b_n]$ , pa zbog $u<x$ važi $u<a_n\in A$ , odakle sledi $v\in A$ .

Neka je $v>x$ . Pošto je $v-x>0$ postoji $n\in\mathbb N$ takvo da je $2^n(v-x)>b-a$ , pa je $v-x>b_n-a_n$ zbog čega ne mogu oba od brojeva $v$ i $x$ da pripadaju intervalu $[a_n,b_n]$ . Obzirom da $x\in[a_n,b_n]$ [/tex] zaključujemo da $v\not\in[a_n,b_n]$ , pa zbog $v>x$ važi $v>b_n\in B$ , odakle sledi $v\in B$ .

Gustina skupa $Q$ u $R$ je posledica od (A).

Neka je $a<b$ . Zbog $b-a>0$ postoji $n\in N$ takvo da je $n(b-a)>1$ , pa je $\farc 1n<b-a$ . Postoji $m\in N$ takvo da je $m\cdot\frac 1n>a$ . Uočimo najmanje takvo celobrojno $m$ . Dakle, $\frac{m-1}n\leq a<\frac mn=\frac{m-1}n+\frac 1n<a+(b-a)=b$ , pa $\frac m,n\in(a,b)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Potrebna literatura 28.11.2016. u 17:14 · pre 121 mesec #3

To zavisi od toga šta izabereš za aksiomu (ili aksiome) neprekidnosti.

Aksioma supremuma (S): Svaki neprazan odozgo ograničen podskup od $R$ ima supremum u $R$ .

Dedekindova aksioma (D): Ako je skup $R$ disjunktna unija nepraznih skupova $A$ i $B$ , pri čemu je svaki element skupa $A$ manji od svakog elementa skupa $B$ , onda postoji realan broj $c$ takav da su svi realni brojevi manji od $c$ članovi skupa $A$ , a svi realni brojevi veći od $c$ članovi skupa $B$ .

Arhimedova aksioma (A): Za ma koje $a,b\in R$ , $a,b>0$ postoji $n\in N$ takav da je $na>b$ .

Kantorova aksioma (K): Ma koji beskonačan niz $I_n$ nepraznih ograničenih zatvorenih intervala takav da je $(\forall n\in N)I_{n+1}\subseteq I_n$ ima neprazan presek, odnosno $(\exists c\in R)(\forall n\in N)c\in I_n$ .

Važi da je (S) ekvivalentno sa (D), odnosno sa konjunkcijom (A) i (K).

(D) povlači (S):

Neka je $X$ odozgo ograničen podskup od $R$ i neka je

$A=\{a\in R\,:\,(\exists x\in X)a<x\}$ ,
$B=R\setminus A$ .

Pošto za $x\in X$ važi $x-1\in A$ i ma koja majoranta skupa $X$ pripada skupu $B$ , skupovi $A$ i $B$ su neprazni. Očiglednosu disjunktni i unije im je $R$ . Ako $a\in A$ i $b\in B$ , onda postoji $x\in X$ takav da je $a<x$ . Zbog $b\not\in A$ ne može biti $b<x$ , pa je $a<x\leq b$ odnosno $a<b$ . Neka je $c\in R$ kao iz (D). Neka $c$ nije majoranta od $X$ i neka je $x\in X$ takvo da je $c<x$ . Onda za $d=(c+x)/2$ važi $c<d<x$ . Zbog $d<x\in X$ važi $d\in A$ , a zbog $c<d$ važi $d\in B$ . Ta kontradikcija dokazuje da je $c$ majoranta od $X$ . Ukoliko bi neko $e<c$ bilo majoranta, postojalo bi $x\in X$ takvo da je $e<x$ suprotno tome da je $c$ majoranta od $X$ . Stoga je $c$ supremum skupa $X$ .

Neka važi D i ne važi A. Neka su a i b takvi pozitivni realni brojevi da za sve prirodne brojeve n važi da je na manje ili jednako od b. Neka je A skup svih realnih brojeva x takvih da je x<na za bar jedan prirodan broj n i neka je B komplement skupa A. Pošto b ne pripada skupu A, b pripada skupu B. Takođe, a pripdada skupu A jer je a manje od 2a. Skup R je disjunktna unija nepraznih skupova A i B. Neka je x element skupa A i y element skupa B. Neka je n prirodan broj takav da je x<na, što je manje ili jednako od y, važi x<y. Neka je c razdva

(S) povlači (A):

Neka važi (S) i ne važi (A). Neka su $a,b>0$ takvi da $(\forall n\in\mathbb N)na\leq b$ . Skup

$X=\{na\,:\,n\in\mathbb N\}$ .

Skup $X$ je neprazan zbog $a\in X$ a odozgo ograničen jer mu je $b$ majoranta. Stoga ima supremum $s$ . Zbog $s-a<s$ broj $s-a$ nije majoranta skupa $X$ pa postoji $n\in\mathbb N$ takvo da je $na>s-a$ , odnosno $(n+1)a>s$ , što je u suprotnosti sa tim da je $s$ supremum skupa $X$ .

(S) povlači (K):

Neka je $I_n$ inkluzijski nerastući niz nepraznih ograničenih zatvorenih intervala i neka je $I_n=[a_n,b_n]$ . Zbog $I_n\neq\emptyset[/tex[ važi a_n\leq b_n$ . Zbog $I_{n+1}\subseteq I_n$ i $a_{n+1},b_{n+1}\in I_{n+1}\subseteq I_n$ važi $a_{n+1},b_{n+1}\in I_n$ , odnosno $a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n$ , pa je niz $a_n$ neopadajući i za svako $k\in N$ broj $b_k$ je majoranta niza $a_n$ (jer je $a_n\leq a_m\leq b_m\leq b_k$ za ma koje $m>n,k$ ). Stoga je skup $X=\{a_n\,:\,n\in\mathbb N\}$ nepraznan i odozgo ograničen, pa ima supremum $a$ , koji ne prelazi nijednu majorantu, pa ni $b_n$ . Stoga je $(\forall n\in\mathbb N)a_n\leq a\leq b_n$ , odnosno $(\forall n\in\mathbb N)a\in I_n$ .

(A) i (K) povlači (D):

Neka su $A$ i $B$ kao u (D). Za $a\in A$ i $b\in B$ važi $a<b$ i konstruišimo nizove $a_n,b_n,c_n$ na sčedeći način:

$a_0=a$ , $b_0=b$ ,

$c_n=(a_n+b_n)/2$ .

Ako je $c_n\in A$ , onda je $a_{n+1}=c_n$ i $b_{n+1}=b_n$ .

Ako je $c_n\in B$ , onda je $a_{n+1}=a_n$ i $b_{n+1}=c_n$ .

Niz $a_n$ je neopadajući, a niz $b_n$ nerastući, pri čemu je $a_n\in A$ , $b_n\in B$ i $[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq[a_n,b_n]$ . Stoga postoji neko $x$ koje pripada svakom od intervala $[a_n,b_n]$ . Takođe je $b_n-a_n=(b-a)/2^n$ .

Neka je $u<x$ . Pošto je $x-u>0$ postoji $n\in\mathbb N$ takvo da je $2^n(x-u)>b-a$ , pa je $x-u>b_n-a_n$ zbog čega ne mogu oba od brojeva $x$ i $u$ da pripadaju intervalu $[a_n,b_n]$ . Obzirom da $x\in[a_n,b_n]$ [/tex] zaključujemo da $u\not\in[a_n,b_n]$ , pa zbog $u<x$ važi $u<a_n\in A$ , odakle sledi $v\in A$ .

Neka je $v>x$ . Pošto je $v-x>0$ postoji $n\in\mathbb N$ takvo da je $2^n(v-x)>b-a$ , pa je $v-x>b_n-a_n$ zbog čega ne mogu oba od brojeva $v$ i $x$ da pripadaju intervalu $[a_n,b_n]$ . Obzirom da $x\in[a_n,b_n]$ [/tex] zaključujemo da $v\not\in[a_n,b_n]$ , pa zbog $v>x$ važi $v>b_n\in B$ , odakle sledi $v\in B$ .

Gustina skupa $Q$ u $R$ je posledica od (A).

Neka je $a<b$ . Zbog $b-a>0$ postoji $n\in N$ takvo da je $n(b-a)>1$ , pa je $\farc 1n<b-a$ . Postoji $m\in N$ takvo da je $m\cdot\frac 1n>a$ . Uočimo najmanje takvo celobrojno $m$ . Dakle, $\frac{m-1}n\leq a<\frac mn=\frac{m-1}n+\frac 1n<a+(b-a)=b$ , pa $\frac m,n\in(a,b)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Potrebna literatura 29.11.2016. u 06:48 · pre 121 mesec #4

Jesi to prepisao odnekud ili "iz glave"?

Re: Potrebna literatura 29.11.2016. u 10:37 · pre 121 mesec #5

Hvala Nedeljko.

Sve je jasno.

Re: Potrebna literatura 29.11.2016. u 14:15 · pre 121 mesec #6

Hteo sam da pročitam tu knjigu iz koje je prepisan dokaz.
Ali dobro pošto je tebi sve jasno možda možeš da kažeš:

Kakav je to skup u oznaci R
takav da je unija disjunktnih skupova
i R sadrži tačku c
takvu da c ne pripada ni jednom skupu unije?

Re: Potrebna literatura 29.11.2016. u 15:01 · pre 121 mesec #7

Nigde ne piše da c ne pripada nijednom od skupova A i B. Naravno da pripada nekom od njih, ali kom, to ne igra nikakvu ulogu. Bitno je da svaka tačka koja je levo od c pripada skupu A, a svaka koja je desno od c propada skupu B, odnosno $(-\infty,c)\subseteq A$ i $(c,\infty)\subseteq B$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Potrebna literatura 29.11.2016. u 17:22 · pre 121 mesec #8

Citat:

Nedeljko:

Nigde ne piše da c ne pripada nijednom od skupova A i B. Naravno da pripada nekom od njih, ali kom, to ne igra nikakvu ulogu.

Dobro, ja onda pretpostavim "c element A".
U jednom momentu ti u izvodjenju navodiš

Citat:

...
važi c < d < x. Zbog d < x element X važi d element A.
...

No pošto je pretpostavka "c element A" imamo kontradikciju.

Re: Potrebna literatura 29.11.2016. u 18:30 · pre 121 mesec #9

Ne možeš to da pretpostavljaš. Može da bude i u skupu B.

Ne znam samo za šta ti to treba.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Potrebna literatura 29.11.2016. u 22:35 · pre 121 mesec #10

Ma znam da može biti u skupu B. Namerno sam pretpostavio naopako.

c je u stvari max(A) ili min(B)

Za šta mi treba? Iz radoznalosti hoću da pročitam tu literaturu.

Re: Potrebna literatura 30.11.2016. u 10:05 · pre 121 mesec #11

Ništa od literature?

Onda, kako je "c supremum skupa X" kad je dato da je "X odozgo ograničen podskup od R" a ograničenje nije navedeno?

Re: Potrebna literatura 01.12.2016. u 00:14 · pre 121 mesec #12

Literatura:
http://personal.pmf.uns.ac.rs/...s/sites/17/2015/11/skripta.pdf

Re: Potrebna literatura 01.12.2016. u 02:24 · pre 121 mesec #13

Zanimljiva skripta. Otprilike za jedan kolokvijum.
Ali tu nema "Dedekindova aksioma".

Dok si još tu a obirom da si napisao da ti je "sve jasno" možda bi ti mogao da objasniš
na osnovu čega za skup X koji je odredjen kao "odozgo ograničen podskup od R" se
izvodi zaključak

Citat:

Pošto za x element X važi važi x - 1 element A

obzirom da je skup A dat sa

Citat:

A = {a element R : (postoji x element X)a < x}

Ja nikako ne uspevam da tu uklopim frazu "Pošto".
Zato sam pomislio da u literauturi iz koje je prepisan dokaz
ima poneka uvodna rečenica koja govori nešto više.

Na kraju sve to i nije bitno ako napisano shvatimo kao skicu dokaza.

Re: Potrebna literatura 01.12.2016. u 12:57 · pre 121 mesec #14

A je definisan kao skup svih realnih brojeva manjih od bar jednog elementa skupa X. Pošto x pripada skupu X i x-1<x, važi da x-1 pripada skupu A.

Inače, sve ovo se obrađuje u većini udžbeika matematičke analize 1.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Potrebna literatura 01.12.2016. u 16:54 · pre 121 mesec #15

OK, ako sam te dobro razumeo frazu

Citat:

Pošto za $x \in X$ važi $x - 1 \in A$

treba tumačiiti

Citat:

Pošto za bar jedan $x \in X$ važi $x - 1 \in A$

Tada stoji

Citat:

A je definisan kao skup svih realnih brojeva manjih od bar jednog elementa skupa X. Pošto x pripada skupu X i x-1<x, važi da x-1 pripada skupu A.

U tom slučaju i frazu

Citat:

Neka c nije majoranta od $X$ i neka je $x \in X$ takvo da je $c < x$ .

treba tumačiti

Citat:

Neka c nije majoranta od $X$ i neka je bar jedan $x \in X$ takvo da je $c < x$ .

itd, itd...
Zato ostatak dokaza važi samo za takvo x
ali ne mora da važi za ceo skup X, zar ne?

Konačno dobijamo da

Citat:

Stoga je c supremum skupa X.

nije valjan zaključak?

Re: Potrebna literatura 01.12.2016. u 17:43 · pre 121 mesec #16

Za svaki x iz X važi da je x-1 iz A.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Potrebna literatura 02.12.2016. u 00:09 · pre 121 mesec #17

Sad $x \in X$ ne znači "bar jedan" $x \in X$ nego
znači "svako" $x \in X$ !

Ajd u zdravlje.

Re: Potrebna literatura 02.12.2016. u 07:19 · pre 121 mesec #18

Da, to znači da iz uslova $x\in X$ sledi $x-1\in A$ .

Ako je $x$ prethodno određena vrednost, to znači da je iskaz $x\in X$ netačan ili iskaz $x-1\in A$ tačan.

Ako $x$ nije prethodno određeno, to znači da ne postoji dopustiva vrednost od $x$ za koju je $x\in X$ i nije $x\in A$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Potrebna literatura 02.12.2016. u 09:10 · pre 121 mesec #19

$X = (-\infty, 5), A = (-\infty, 1)$
Ispunjava početni uslov iz "(D) povlači (S):".

Za x = 4 tačno je $x \in X$ .

Ali nije tačno $x - 1 \in A$ .

Re: Potrebna literatura 02.12.2016. u 16:10 · pre 121 mesec #20

U (D) povlači (S) postoji definicija skupa $A$ preko skupa $X$ .

$A=\{a\in R\,:\,(\exists x\in X)a<x\}$ .

Kada zadaš $X$ , onda je $A$ jednoznačno određen. Ne može se birati proizvoljno.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme