Piramida i prizma

Dobila sam zadatak koji glasi: U pravilnu četvorostranu piramidu upisana je pravilna četvorostrana prizma. Temena gornje osnove prizme se poklapaju sa težištima bočnih strana piramide, a donja osnova pripada osnovi piramide. Odrediti odnos zapremina prizme i piramide.

Napravila sam skicu i shvatila da osnove mogu izaziti ovako: a2=a1/2 (gde je a1 osnova piramide, a a2 osnova prizme), preko srednje linije trougla. Problem mi predstavlja, kako dobiti odnos visina?

Pa, nije ti dobra skica.

Bočne strane piramide su trouglovi, a težište bočne stranice je težište trougla. Težište trougla ima osobinu da deli težišnu liniju u odnosu 1:2.
Odavde je jasno da je visina upisane prizme jednaka trećini visine piramide.

Za bazu, iz sličnosti trouglova, možeš da nađeš da je polovina dijagonale baze upisane prizme jednaka dve trećine polovine stranice, odnosno dijagonala je 2/3 stranice a.

Ovako napamet, odnos sapremine upisane prizme i piramide je 4/9 : 1

U redu, razumem gde sam pogrešila.
No, ne razumem iz sličnosti kojih trouglova si dobio odnos dijagonale i stranice?

Neka je A vrh piramide. Od vrha A to osnove piramide povučemo normalu i neka je tačka u kojoj normala prolazi kroz osnovu O. Tada je AO visina piramide.
Dalje iz tačke A nacrtamo visinu stranice piramide. Tačka u kojoj visina dodiruje bazu neka bude M i ona je tačno na polovini stranice osnove. Ovo je istovremeno i težišna linija jer se ove dve linije poklapaju kod jednakokrakog trougla. Na liniji AM se nalazi i tačka T (težište stranice) i ona deli liniju AM na duži AT i TM i imamo osobinu da je AT=2TM. Iz tačke T (koja je težište stranice piramide i istovremeno jedna od tačaka gornje osnove upisane prizme) spustimo normalu na osnovu piramide i tu tačku nazovimo N.

Sada imamo trouglove AMO i TMN koji su slični. Duž TN je visina upisane prizme i ona je jednaka 1/3 AO. Duž NO je polovina dijagonale osnove upisane prizme. Duž MO je dužine polovine stranice.


Svetlo plavi pravougaonik na slici je gornja osnova upisane prizme. Duž NO je polovina dijagonale donje osnove upisane prizme.