Još jedan problem sa trouglom

Zadatak:

Neka je D središte hipotenuze AB pravouglog trougla $\Delta ABC\, (AC > BC)$ . Ako su E i F preseci polupravih CA i CB, redom, sa pravom koja je u D normalna na CD, a tačka M središte duži EF, dokazati $CM \bot AB$ .

Moje rešenje (ili bar pokušaj):

Neka je $\{S\} = CM \cap AB$ . Posmatrajmo trouglove $\Delta CDM,\,\Delta CSD$ i $\Delta DSM$ . Neka je k opisani krug za trougao $\Delta CSD$ . Tada je prava MD tangenta na krug k u tački D, a duž SD tetiva kruga k. Ugao $\angle SCD$ je periferijski ugao nad tetivom SD. Poznato je da je ugao između tangente i tetive jednak periferijskom uglu nad tom tetivom, pa je $\angle MDS = \angle MCD$ . Zaključujemo da su trouglovi $\Delta CDM$ i $\Delta MSD$ slični, jer imaju dva podudarna ugla: $\angle MDS = \angle MCD$ i zajednički ugao $\angle SMD = \angle DMC$ . Zato i treći ugao mora da im bude podudaran: $\angle DSM = \angle CDM = 90^{o}$ . Dakle, $\angle CSB = \angle DSM = 90^{o}$ , pa je $CS \bot AB$ , tj. $CM \bot AB$ .

Međutim, ne bi važilo da je $MD$ tangenta na krug $k$ u tački $D$ da nije $D$ srediste od $AB$ . Može li neko da mi kaže šta fali ovom dokazu i kako da bude ispravan...? Meni je to na slici izgledalo da je $MD$ tangenta, ali slika svakako nije dokaz. Ili ako neko vidi neko drugačije, jednostavnije rešenje. Ovo bi trebalo da bude zadatak za prvi srednje...

Hvala unapred.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme