Konvergencija nekih redova...

Odgovori Nova tema

3 odgovora
2.990 pregleda

Konvergencija nekih redova... 07.04.2015. u 22:57 · pre 141 mesec #1

Zdravo, radim ovih dana zadatke iz redova pa bih zamolio za pomoc:

1. Ispitati konvergenciju reda $\sum_{n=2}^{+\infty} {{\sin(\pi\cdot(n^3+n)^{1\over 3}}) \over \ln^{\alpha}n$ .

Dakle, ${\sum_{n=2}^{+\infty} {{\sin(\pi\cdot(n^3+n)^{1\over 3}}) \over \ln^{\alpha}n} = {\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^{n} {{\sin(\pi\cdot(n^3+n)^{1\over 3}}-\pi n) \over \ln^{\alpha}n}$ .

Daljom transformacijom dobija se red: ${\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^{n} {{\sin \bigg({\pi n \over (n^3+n)^{2\over 3}+(n^6+4)^{1\over 3}+n^2}\bigg) \over \ln^{\alpha}n}$ , odakle, ako trazimo apsolutnu konvergenciju dobijamo da se prethodni red ponasa kao: ${\sum_{n=2}^{+\infty}{1 \over n\cdot \ln^{\alpha} n}}$ , sto konvergira za alfa vece od 1. Kako da uradim za $0 < \alpha < 1$ .? I za $\alpha < 0$ red divergira jer opsti clan ne tezi nuli?

Re: Konvergencija nekih redova... 08.04.2015. u 09:10 · pre 141 mesec #2

Ako je alfa<0 ln ide u brojnik, a s obzirom da n tezi brze u beskoncno od ln slijedi da opsti clan tezi u nulu, ovaj red mozes rijesiti sa kosijevim integralnim kriterijom.

Potpis

www.portanaturae.com

Re: Konvergencija nekih redova... 08.04.2015. u 11:41 · pre 141 mesec #3

Za alfa < 0 opsti clan polaznog reda ne ide u nulu, proverio sam za alfa = -2 na wolfram! To sam pitao jer u resenje kazu da konvergira, a to se ne poklapa sa ovim prethodnim sto sam reko.

Re: Konvergencija nekih redova... 08.04.2015. u 16:19 · pre 141 mesec #4

Koristi formulu
$\sin(t)=t-(t-\sin(t))$ , pri čemu je $t-\sin(t)=O(t^3)$ kada $t\rightarrow 0$ . Razbi red na dva, od kojih jedan apsolutno konvergira po poredbenom kriterijumu, a drugi konvergira po Lajbnicovom. Kada nemaš sinus, lako dokazuješ monotoniju. Da bi dokayao da je neki niz $a_n$ monoton, dovoljno je da dokažeš da je monotona funkcija $f(x)$ takva da je $a_n=f(n)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme