Zašto mrzim (volim) geometriju

Zašto mrzim (volim) geometriju 01.12.2014. u 07:54 · pre 145 meseci #1

U jednakokrakom troglu ABC (BC=AC), ugao kod temena C je 108 stepeni.
Presek visine iz temena C sa osnovicom AB je tačka D.
Presek simetrale ugla kod temena A sa krakom BC je tačka E.
Dokazati da je AE = 2*CD.

Dozvoljena su sva sredstva.
Ako treba sin(18 stepeni), ne morate ga izvoditi, izveo sam ga.
I od 36, 54, 72, 108 i 126 stepeni.
I sinus i kosinus.
Ali nisam mogao ili znao da ih upotrebim.

Ko zna rešenje, ne mora baš odmah da postuje.
Naka i drugi mržnju pretvore u ljubav.

Kada se pogleda rešenje, zadatak je prelep.
Mržnju pretvara u ljubav.

Re: Zašto mrzim (volim) geometriju 01.12.2014. u 08:53 · pre 145 meseci #2

I još da si napisao zadatak kako treba...

Kako može da bude ugao kod C 108 stepeni. To znači da je i ugao kod B isto 108.
AKo je AB=AC onda to može da bude samo ugao kod A.
Kad u startu napraviš takvu grešku, šta je onda u zadatku ispravno od oznaka?

1

Re: Zašto mrzim (volim) geometriju 01.12.2014. u 15:30 · pre 145 meseci #3

Ispravljeno.
Greška u kucanju.
Sad je sve ispravno.

Re: Zašto mrzim (volim) geometriju 01.12.2014. u 16:37 · pre 145 meseci #4

AE=AD*(1/cos18+tg36-tg18)=1,453AD
CD=AD*tg36=0,7265AD
AE/CD=1,453/0,7265=2
Ako treba dodacu jos informacija.
Ja sam trigonometrijske funkcije odredio digitronom ali nije tesko pokazati da je:
1/cos18+tg36-tg18=2tg36 tj.
1/cos18=tg36+tg18

Potpis

Shoutcast striming za online radio stanice
http://shout-cast.tk
Rešeni zadaci sa prijemnih ispita
http://matematika-012.tk

Re: Zašto mrzim (volim) geometriju 02.12.2014. u 08:16 · pre 145 meseci #5

Nije baš ni lako.

Re: Zašto mrzim (volim) geometriju 02.12.2014. u 10:18 · pre 145 meseci #6

Mozda jeste mozda nije :)

Potpis

Shoutcast striming za online radio stanice
http://shout-cast.tk
Rešeni zadaci sa prijemnih ispita
http://matematika-012.tk

es2.gif4.94k es1.gif9.96k

Re: Zašto mrzim (volim) geometriju 02.12.2014. u 13:52 · pre 145 meseci #7

Fenomenalno rešenje.

Ja sam iz Moavrove formule izveo obrazac za cos(5*alfa).
I onda sam rešio da je:
$cos(18 stepeni) = \sqrt{(5+\sqrt{5})/8}$
$sin(18 stepeni) = \sqrt{(3-\sqrt{5})/8}$

Onda sam ubacio u jednakost i izrazi su postali jezivi.
Posle jedno 3 strane se dokazalo, ali je ružan račun.

Ajde sad neko da ga uradi čisto geometrijski, bez trigonometrije.

Re: Zašto mrzim (volim) geometriju 06.12.2014. u 21:54 · pre 144 meseca #8

Elementarno resenje: Neka je presek duzi AE i CD tacka N. Neka je tacka M srediste duzi AE. Tada je duz MD srednja linija trougla ABE, pa je MD paralelno sa BC. Visina CD je ujedno i simetrala ugla BCA, pa je ugao BCD 54 stepeni. AE je simetrala ugla BAC, pa je ugao EAC 18 stepeni. Iz trougla AEC nalazimo: ugao AEC je 54 stepeni(zbir uglova je 180). Odavde zakljucujemo da je trougao NEC jednakokraki, pa NE=NC. Kako vec znamo da je MD paralelno sa BC, uglovi MDC i DCE su podudarni kao uglovi na transverzali, pa je ugao MDC=54 stepeni. Analogno, ugao DME =54 stepeni. Dakle i trougao MDN je jednakokraki, pa je MN=ND. Odavde je DN+NC=MN+NE, pa je CD=ME=AE/2.

Re: Zašto mrzim (volim) geometriju 08.12.2014. u 12:02 · pre 144 meseca #9

Lepše urađeno nego što sam ja uradio.

Ja sam docrtao još jedan trougao osnosimteričan originalnom u odnosu na pravu koja ide kroz duž AB.
Da bih dobio duž 2*CD.
Opet se rešenje zasniva na dva jednakokraka trougla sa uglovima na osnovici od 54 stepena.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme