Pomoc oko resavanja zatataka!

Pomoc oko resavanja zatataka! 22.05.2014. u 14:24 · pre 151 mesec #1

Pre svega nisam znao kako da odkucam zadatke pa sam koristio tag [img][/img] i izvinjavam se zbog toga ako sam narusio neko pravilo... a evo i 2 zadatka koja ne umem da resim...

Prvi zadatak:

Drugi zadatak:

Re: Pomoc oko resavanja zatataka! 22.05.2014. u 16:08 · pre 151 mesec #2

Za taj drugi, primetiti da je funkcija $f(x)=x^k, x> 0, k>1$ konveksna funkcija, i onda primeniti tvrdjenje koje kaze da ako je $f$ funkcija na intervalu $I$ , onda je ona konveksna ako i samo ako vazi $f\left(\frac{x+y}{2}\right) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}$ .

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Pomoc oko resavanja zatataka! 22.05.2014. u 17:00 · pre 151 mesec #3

Drugi može i indukcijom.
Baza indukcije je n=1, ali sam namerno radio za n=2.
Na kraju uradiš samo sve slučajeve x veće/manje/jednako od y.
Proizvod je uvek veći ili jednak 0.

Slika204.jpg499.04k

Re: Pomoc oko resavanja zatataka! 22.05.2014. u 18:33 · pre 151 mesec #4

Hvala puno na resenju!!!

Re: Pomoc oko resavanja zatataka! 22.05.2014. u 21:32 · pre 151 mesec #5

U prvom valjda pokušavaš da namestiš:

$\sum_{k=0}^{1011} }{1011\choose k}} = {2}^{1011}$

a ne

$\sum_{k=0}^{1011} }{1011\choose 1010}} = {2}^{1011}$

Ili sam ja nešta propustio?

Zadatak pokušavam da uradim na nivou kombinatorike, ali mi se ništa ne "javlja".
Koji je fakultet, odnosno nivo ispita?
Čisto da bih znao šta je dozvoljeno od naprednijih alata.

PS:
Ovaj editor (LaTex) ćeš najlakše naučiti (ili bar upotrebiti) kopiranjem i editovanjem već napisanih komentara.

Re: Pomoc oko resavanja zatataka! 22.05.2014. u 22:30 · pre 151 mesec #6

Da upravu si, treba da se namesti $\sum_{k=0}^{1011} }{1011\choose k}} = {2}^{1011}$ . Inace upitanju je PMF, ispit je Elementarna matematika, dakle dozvoljeno je sve, tj. Mozes koristiti sve oblasti za resavanje zadatka.

Re: Pomoc oko resavanja zatataka! 22.05.2014. u 23:51 · pre 151 mesec #7

Za $k=1012$ nije definisano ${2014-k\choose 1010}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoc oko resavanja zatataka! 22.05.2014. u 23:54 · pre 151 mesec #8

Prvi zadatak je koska. Primetimo da $\input amstex \sum_{k=1}^{1012} \binom{2014-k}{1010} = \sum_{k=1}^{1004} \binom{2014-k}{1010}$ , jer su inace binomni koeficijenti jednaki nuli (ja sam uzeo tu definiciju koju sam nasao na netu, al obicno sam se pre susretao sa zadacima gde je sve bilo definisano na pocetku). Sad iskoristimo poznati identitet $\input amstex \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ i problem se svodi na $\input amstex \sum_{k=1}^{1004} \binom{2014-k}{1004-k}$ . Zato cemo se pozabaviti odredjivanjem sume $\input amstex \sum_{k=0}^{m} \binom{n-k}{m-k}$ . Jedan od nacina bi bio taj da produzimo sumu za $k>m$ kada su binomni koeficijenti jednaki nuli i uradimo sledece $\input amstex \sum_{k \ge 0} \binom{n-k}{m-k} = \sum_{m-k \ge 0} \binom{n-(m-k)}{m-(m-k)}=\sum_{k \le m} \binom {n-m+k}{k}=\binom{n-m}{0}+\binom{n-m+1}{1}+\cdots + \binom{n-m+m}{m}=\binom{n-m+(m+1)}{m}=\binom{n+1}{m}$ , gde smo koristili na kraju Paskalov identitet $\input amstex \binom{r}{k}=\binom{r-1}{k}+\binom{r-1}{k-1}$ , pa su se clanovi u sumi medjusobno skratili. Dakle, nasli smo da je $\input amstex \sum_{k=0}^{m} \binom{n-k}{m-k}=\binom{n+1}{m}.$ Vratimo se sad na nas problem. Primenom ove formule dobijamo da je $\input amstex \sum_{k=1}^{1012} \binom{2014-k}{1010} = \sum_{k=1}^{1004} \binom{2014-k}{1010}= \sum_{k=0}^{1004} \binom{2014-k}{1010} - \binom{2014}{2010}=\sum_{k=0}^{1004} \binom{2014-k}{1004-k} - \binom{2014}{2010}=\binom{2015}{2010}-\binom{2014}{2010}.$

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Pomoc oko resavanja zatataka! 23.05.2014. u 07:39 · pre 151 mesec #9

Ne vidim grešku, ali je rezultat mnogo mali da bi bilo tačno.

Re: Pomoc oko resavanja zatataka! 23.05.2014. u 10:29 · pre 151 mesec #10

Jedinu gresku koju sam ja primetio je ta sto nisam dobijenu formulu primenio kako treba. Na kraju se dobija $\input amstex \binom{2015}{1004}-\binom{2014}{1010}$ , odnosno, radi lepseg zapisa, $\input amstex \binom{2015}{1004}-\binom{2014}{1004}$ . Dakle, ne $2010$ , vec $1004$ , odsnosno $1010$ (mada je to isto kao i $1004$ u tom binomnom koeficijentu). Ne znam na kojim sam drogama bio kada sam ovo pisao. Wolfram potvrdjuje ovo resenje link.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Pomoc oko resavanja zatataka! 23.05.2014. u 13:30 · pre 151 mesec #11

Da ne otvaram novu temu, a zadatak isto iz elementarne matematike.

Za sve prirodne brojeve k, n i m $k < n+m$ važi:

${n \choose k}*{m \choose 0} + {n \choose k-1}*{m \choose 1} + {n \choose k-2}*{m \choose 2} + ... +{n \choose 0}*{m \choose k} = {n+m \choose k}$

Kombinatorno je više nego jasno da važi jednakost.
Traži se dokaz.
Ništa ne uspevam.

I još jedan koji ne znam da finiširam:
Dokazati da se iz skupa od pet prirodnih brojeva uvek mogu izabrati 2 broja m i n tako da je $m^4 - n^4$ deljivo sa 15.

Re: Pomoc oko resavanja zatataka! 23.05.2014. u 13:59 · pre 151 mesec #12

Za prvi, razviti obe strane $(1+x)^{m+n}=(1+x)^m (1+x)^n$ i na desnoj strani iskoristiti Kosijevo mnozenje redova. Identitet bi trebalo da iskoci odatle. Kombinatorni argument je sasvim u redu i smatram da se i on moze uzeti kao dokaz.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Pomoc oko resavanja zatataka! 23.05.2014. u 15:35 · pre 151 mesec #13

Bravo Sonec.
Izjednačavanjem koeficijenata uz $x^k$ se direktno dobija traženi identitet.

Re: Pomoc oko resavanja zatataka! 25.05.2014. u 09:23 · pre 151 mesec #14

Citat:

miki069:

Dokazati da se iz skupa od pet prirodnih brojeva uvek mogu izabrati 2 broja m i n tako da je $m^4 - n^4$ deljivo sa 15.

Poslednja cifra četvrtog stepena prirodnog broja može biti 0, 1, 5 ili 6. Dakle, bar dva od odabranih pet brojeva imaju četvrti stepen koji završava istom cifrom, pa razlika ima poslednju cifru 0, tj. deljiva je sa 5.

Za deljivost sa 3 dovoljno je rastaviti $m^4 - n^4$ na činioce. Od pet brojeva, bar dva daju isti ostatak pri deljenju sa 3, pa je njihova razlika deljiva sa 3, tj, činilac (m-n) je deljiv sa 3.

Potpis

"We are mathematicians, we are happy when we have a problem!"

Re: Pomoc oko resavanja zatataka! 06.06.2014. u 00:09 · pre 151 mesec #15

Dokazati nejednakost:

$(\frac{a}{b})^4 + (\frac{b}{c})^4 + (\frac{c}{d})^4 + (\frac{d}{e})^4 + (\frac{e}{a})^4 \ge (\frac{b}{a}) + (\frac{c}{b}) + (\frac{d}{c}) + (\frac{e}{d}) + (\frac{a}{e})$

Gde su a,b,c,d i e pozitivni realni brojevi

Ima li neko ideju?

Re: Pomoc oko resavanja zatataka! 06.06.2014. u 08:34 · pre 151 mesec #16

Dakle, imaš pozitivne brojeve $x,y,z,u,v$ za koje važi $xyzuv=1$ i treba dokazati

$x^4+y^4+z^4+u^4+v^4\geq x+y+z+u+v$ .

Pošto je geometrijska sredina jednaka 1, sredina četvrtog reda ne može da bude manja od 1, pa je

$\frac{x^4+y^4+z^4+u^4+v^4}5\geq\sqrt[4]{\frac{x^4+y^4+z^4+u^4+v^4}5}\geq\frac{x+y+z+u+v}5$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoc oko resavanja zatataka! 06.06.2014. u 19:05 · pre 151 mesec #17

@nedeljko:
Ako sam dobro shvatio, x=a/b, itd?
A sa desne strane je b/a, ne a/b, tj 1/x?
Onda ti početna nejednačina (ono na 4ti >= zbir) nije dobra jer je kod zbir u stvari 1/x+1/y...?

Ostatak rešenja neću komentarisati jer nemam dovoljno znanja, samo mi je ovo zapalo za oko... jer je sa jedne strane a/b a sa druge b/a itd.

P.S. Izvini, a ne znam ni kako se ovaj tex upotrebljava.

Potpis

Kad sve ostalo zakaže, pročitaj uputstvo...

Re: Pomoc oko resavanja zatataka! 06.06.2014. u 22:50 · pre 150 meseci #18

U pravu si. Dakle, meni treba nejednakost

$x_1^4+\cdots x_5^4\geq\frac 1{x_1}+\cdots+\frac 1{x_5}$ ,

odnosno

$f(x_1)+\cdots+f(x_5)\geq 0$ za $f(t)=t^4-\frac 1t$ .

Ovako ne mogu direktno da iskoristim Jensenovu nejednakost jer mi treba $f(\sqrt[5]{x_1\cdots x_5})$ , a ne $f((x_1+\cdots+x_5)/5)$ jer znam da je $x_1\cdots x_5=1$ . No, to možemo postići uvođenjem smene $y_i=\ln(x_i)$ . Uslov $x_1\cdots x_5=1$ prelazi u uslov $y_1+\cdots+y_5=0$ , a nejednakost dobija oblik

$\frac{g(y_1)+\cdots+g(y_5)}5\geq g(0)$ za $g(t)=e^{4t}-e^{-t}$ ,

pri čemu se lako proverava da $g$ jeste konveksna funkcija.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoc oko resavanja zatataka! 27.06.2014. u 19:42 · pre 150 meseci #19

Za Gojka: screenshot kako mi ne radi tex:

Potpis

Kad sve ostalo zakaže, pročitaj uputstvo...

es-text.png110.31k

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme