Integral dy/(x^2+y^2)^2

Integral dy/(x^2+y^2)^2 19.04.2014. u 22:02 · pre 152 meseca #1

Kako rijesiti ovaj integral? Nikako ne uspijevam da ga rijesim :(
$\int \frac{1}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\ dy$

Re: Integral dy/(x^2+y^2)^2 21.04.2014. u 13:11 · pre 152 meseca #2

Sa jedne strane $\int \frac{1}{x^2+y^2}\,dy=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\mathcal{C}$ . Sa druge strane, taj integral mozemo izracunati parcijalnom integracijom $u=\frac{1}{x^2+y^2}, \,\, dv=dy$ . Ako racunamo integral na ovaj drugi nacin, onda ce nam se u jednom trenutku pojaviti nas trazeni integral, odakle ga lako nalazimo.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Integral dy/(x^2+y^2)^2 21.04.2014. u 13:38 · pre 152 meseca #3

Uvedi smjenu y=x*tg(t).
p.s. Sonec, zaboravio si na kvadrat.

Potpis

www.portanaturae.com

Re: Integral dy/(x^2+y^2)^2 21.04.2014. u 19:04 · pre 152 meseca #4

@different Ne, nisam. Ja sam i pokazao postupak za racunanje polaznog integrala. Integral bez kvadrata nam sluzi kako bismo nasli konacno resenje. Ako je potrebno, il nisam bio dovoljno jasan, mogu da pojasnim.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Integral dy/(x^2+y^2)^2 21.04.2014. u 19:30 · pre 152 meseca #5

Ok,je...nisam ni procitao do kraja tvoj odgovor jer nikada nisam rjesavao na taj nacin integrale :)

Potpis

www.portanaturae.com

Re: Integral dy/(x^2+y^2)^2 21.04.2014. u 19:48 · pre 152 meseca #6

@different,
rijesio sam integral tom smjenom, hvala ti
@Sonec,
nisam bas ukapirao tvoj metod a htio bih i na taj nacin da rijesim pa ako ti nije problem da pojasnis... :)

Re: Integral dy/(x^2+y^2)^2 21.04.2014. u 20:05 · pre 152 meseca #7

Sustina je da ti znas (ja verujem) da izracunas $\int \frac{1}{x^2+y^2} \, dy$ . E sad, ti se napravis lud i krenes da racunas taj isti integral pomocu parcijalne kako sam opisao (al primeti, ti sve vreme znas sta moras da dobijes). Onda kad primenis parcijalnu integraciju, tebi ce "iskociti" pocetni integral $\int \frac{1}{(x^2+y^2)^2}\, dy$ , i onda ga odatle izrazis. Raspisi pa ces videti. Ako bude bilo problema, pokazacu ti ceo postupak.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Integral dy/(x^2+y^2)^2 21.04.2014. u 22:04 · pre 152 meseca #8

Sonec, probao sam,mozda sam brzo racunao ali mi se pojavljuje i y na kvadrat pa ne mogu da dobijem pocetni (trazeni) integral iz kojeg bi izrazio rjesenje.

Potpis

www.portanaturae.com

Re: Integral dy/(x^2+y^2)^2 21.04.2014. u 22:20 · pre 152 meseca #9

Tako i treba da se dobije. Na tom mestu dodaj i oduzmi u brojiocu $x^2$ .

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Integral dy/(x^2+y^2)^2 21.04.2014. u 22:28 · pre 152 meseca #10

OK, hvala,dobar i ovaj nacin rjesavanja.

Potpis

www.portanaturae.com

Re: Integral dy/(x^2+y^2)^2 22.04.2014. u 00:15 · pre 152 meseca #11

Uspio sam i ja, hvala puno

Re: Integral dy/(x^2+y^2)^2 22.04.2014. u 11:36 · pre 152 meseca #12

Ovaj Sonecov način je univerzalniji od trigonometrijske smene.

Ako sad treba da se izračuna:
$\int \frac{1}{(x^2+y^2)^3}\, dy$

Krene se od: $\int \frac{1}{(x^2+y^2)^2}\, dy$ i na isti fazon se dođe do rešenja gornjeg integrala.

Čak može da se izvede i rekurentna formula za $\int \frac{1}{(x^2+y^2)^n}\, dy$ preko integrala za jedan stepen nižeg.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme