Metrički prostori-zadatak

Neka $A,B,C\in F$ . Za ma koje $b\in A$ važi

$\inf_{a\in A}d(a,b)=0$ , jer je uvek $d(a,b)\geq 0$ , a sa druge strane je $d(a,a)=0$ ,
$\sup_{b\in A}\inf_{a\in A}d(a,b)=\sup_{a\in A}0=0$ .

Na sličan način se zaključuje da je $\sup_{a\in A}\inf_{b\in A}d(a,b)=0$ . Dakle,

$h(A,A)=0$ .

Ukoliko je $A\neq B$ , onda postoji $x\in A\setminus B$ ili $y\in B\setminus A$ .

U prvom slučaju, pošto je skup $B$ zatvoren, postoji $\varepsilon>0$ takvo da u $\varepsilon$ okolini tačke $x$ nema tačaka skupa $B$ . Stoga je

$\inf_{b\in B}d(x,b)\geq\varepsilon$ , jer je $d(x,b)\geq\varepsilon$ .
$\sup_{a\in A}\inf_{b\in B}d(a,b)\geq\inf_{b\in B}d(x,b)\geq\varepsilon$ .

Odatle sledi da je $h(A,B)\geq\varepsilon>0$ . Na sličan način se radi i drugi slučaj, samo treba krenuti od $\inf_{a\in A}d(a,y)\geq\varepsilon$ za $\varepsilon>0$ takvo da u $\varepsilon$ okolini tačke $y$ nema tačaka skupa $A$ .

$h(A,B)=h(B,A)$ je očigledno.

Ostala je nejednakost trougla. Za ma koje $a\in A$ , $b\in B$ i $c\in C$ važi

$d(a,c)\leq d(a,b)+d(b,c)$ , (nejednakost trougla za $d$ )
$\inf_{c\in C}d(a,c)\leq d(a,b)+\inf_{c\in C}d(b,c)\leq d(a,b)+\sup_{b\in B}\inf_{c\in C}d(b,c)$ ,
$\inf_{c\in C}d(a,c)\leq d(a,b)+\sup_{b\in B}\inf_{c\in C}d(b,c)$ , (na osnovu prethodnog i tranzitivnosti nejednakosti),
$\inf_{c\in C}d(a,c)\leq\inf_{b\in B}d(a,b)+\sup_{b\in B}\inf_{c\in C}d(b,c)$ ,
$\sup_{a\in A}\inf_{c\in C}d(a,c)\leq\sup_{a\in A}\inf_{b\in B}d(a,b)+\sup_{b\in B}\inf_{c\in C}d(b,c)\leq h(A,B)+h(B,C)$ .
$\sup_{a\in A}\inf_{c\in C}d(a,c)\leq h(A,B)+h(B,C)$ , (na osnovu prethodnog i tranzitivnosti nejednakosti)

Na sličan način se dokazuje i

$\sup_{c\in C}\inf_{a\in A}d(a,c)\leq h(A,B)+h(B,C)$ .

Odatle sledi da je

$h(A,C)\leq h(A,B)+h(B,C)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme