Pomoc oko par zadataka iz Analize

Pozdrav ljudi,

Imam pismeni iz analize za koji dan, preneo sam ga i imam problem sa par zadataka..
Ovaj prvi sto je najgore od svega i znao sam, ali sam zaboravio, mada koliko se secam stvarno nije dugacak, poenta je valjda da se ispitaju slucajevi za alfa^0, alfa^1, alfa^n i slicno, ali kao sto rekoh, stvarno nisam siguran :/
A ovaj drugi, tj 3. na slici nisam znao ni prosli put a on cesto dolazi, pa ako mi neko moze pomoci vecno sam mu zahvalan..





Hvala

Da li je ovo za fakultet ili srednju školu?
Pitam zato što su oba zadatka ekstremno prosta.

U prvom, središ razlomak:


Sada ovo podeliš ili primeniš dva puta Lopitalovu teoremu. Recimo sa deljenjem razlomaka:


Gde je R(x) polinom prvog stepena koji se dobija kao ostatak kod deljenja (a mrzi me da ga računam) pa je onda i limes jednak

Drugi je još prostiji. Treba da posmatraš slučaj kada je x=1 i x=-1.
Da bi funkcija bila neprekidna, arctan i linearna funkcija moraju da imaju iste vrednosti za te dve vrednosti x, tj.


pa je jasno da je beta 0, a alfa pi/3.
Kada nađeš izvode linearne funkcije i arctan funkcije u tačkama 1 i -1 videćeš da se vrednosti razlikuju.

Ja ne vidim nista ovde prosto, a kamoli ekstremno prosto. Zadaci, bar drugi, jesu za fakultet. Malo je ruzno da ja delim nekom packe, al, ako se neko obratio za pomoc to povlaci da neko ima problem sa odredjenim zadatkom i da mu to uopste nije lako, i onda mi je bezveze da se komentarise kako je nesto prosto, odnosno trivijalno, jer to mi je nekako spustanje samoga postavljaca pitanja.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Hvala ljudi!

Zadaci jesu za fakultet i verujem da su mozda lagani, tj zavisi kako kome, ovi su cak bili u prvom ispitnom roku a nepisano je pravilo da kako idu rokovi postaju tezi, u septembru jedva sam ih procitao :D
Ali stvarno nemam problema, ne shvatam nista licno i ako su prelaki, prelaki su (bolje za mene, nisam jedan od onih koji se hvali tezinom ispita :D), studiram informatiku, cepaju nas sa programiranjem (prolaznosti par predmeta su od oko 13%-30%) tako da verujem da ove stvari ni ne ucimo do nekih ekstremnih tezina (ovo je analiza I, ceka me jos analiza II pa III :( :( :( )..

Trenutno imam neke goste, ali cim odu probacu tvoje resenje, djoka_l da ispratim korak po korak pa ako mi i dalje bude nesto nejasno pitacu, nije da bas rasturam analizu :/

Hvala jos jednom!

Nisam mislio nikoga da vređam, ali ne znam sa kojim matematičkim predznanjem pita za rešenje. Recimo nisam znao da li zna i koristi Lopitala, ili treba da mu objasnim preko deljenja polinoma. Za drugi zadatak nisam bio siguran da li zna da nađe izvod arctan funkcije. U oba slučaja, srednjoškolcu bi trebalo više objašnjenja.
Uzgred, vidim da sam u brojiocu razlomka u prvom zadatku zaboravio jedno n kada sam sređivao, ali to ne utiče na krajnje rešenje (umesto treba )

djoka_l nema vredjanja covece, pomogao si mi :) Znam lopitala i znam i izvode arctan funkcije.. :)
Napisem ovde kako mi ide, pa ako mi treba jos pomoci, ako mozes ti (ili drugi) pomozite :)

Castim te pivom ako polozim, jer ima neka fora ako dam ovo u Januaru vracaju mi se neke pare koje sam uplatio faksu.. :D

1) Prvi sam uspeo da ispratim, uradio sam lopitala x2, dobio . Jel mislis da je to dovoljno da ostavim, mislim ima smisla da to bude kraj, ono sto n tezi beskonacnosti vise ni nema veze.. Jel je to to generalno kod ovog tipa zadataka, da ga rastavim sto vise, uradim lopitala koliko je potrebno i to bi trebalo da bude to u vecini slucajeva? :)

2) Sad kod drugog imam malo vise pitanja, deluje prosto (malo toga ima da se pise :D) ali nemam dobro osnovu u ovoj tematici difrencijabilnosti, otuda vise pitanja.
Posto imamo kao uslov |x| <= 1, kontam da otuda uzimamo dve vrednosti za X, 1 i -1. Sad, ja barem kako gledam na to, po meni deluje kao da je ax + b definisano za |x| > 1, ali nas zanima ta "kriticna tacka", tu gde se spajaju ove dve funkcije i zato gledamo X= -1 i 1 (ima smisla?).

Sledeci deo mi je jasan, ovo a + b = Pi/3 jer za pozitivan X arctan je Pi/3 i suprotno..

Medjutim ovaj zadnji deo "zatim ispitati diferencijabilnost ovako dobijene funkcije", tu kazes da nadjem izvode linearne funkcije i arctan funkcije u tackama 1 i -1.. Jel tu sad trebam da zamenim ove vrednosti za alfa = pi/3, a beta = 0? I onda da trazim izvode za i kao i i , samo to? Da ih uporedim nekako ili...?

Hvala jos jednom :)

Ok, što se tiče prvog zadatka, koristi Lopitala kad god možeš. Lopitala možeš da koristiš kad god imaš situaciju limes 0/0 ili limes inf/inf, a pri tom su i imenilac i brojilac diferencijabilne funkcije. Ako opet dobiješ 0/0 ili inf/inf opet radiš Lopitala. To je naročito prosto kada su funkcije u razlomku polinomi, onda radiš Lopitala onoliko puta koliki je najviši stepen u imeniocu i brojiocu. ako je limes tipa anx^n+...+a1x+a0/bnx^n+...+b1x+b0, limes ti je uvek an/bn jer kada primeniš Lopitala n puta dobiješ an*n!/bn*n!, pa se to lepo skrati i bude an/bn.

U drugom zadataku, jasno se vidi da je funkcija definisana u sledeća tri intervala (-inf,-1), [-1,1] i (1, inf), zato nas zanima šta se dešava na tim granicama tj. za x=-1 i x=1
Kreni od definicije neprekidnosti funkcije: funkcija je neprekidna u tački x0 ako je limes f(x) = f(x0) za x->x0
Dakle funkcija je neprekidna u x=1 ako je lim f(x) = f(1) za x->1. iz definicije funkcije vidimo da je f(x) za x=1 arctan(sqrt(3)x) = arctan(sqrt(3)) = pi/3
Sa druge strane, kada x->1+ (teži 1 sa desne strane) imamo da mora da bude lim ax+b = f(1) tj, ax+b=pi/3
Slično se za x->-1- (- jedan sa leve strane dobije da mora da bude) ax+b=-pi/3
pa dobijamo dve linearne jednačine sa dve nepoznate:

a*1+b= pi/3 i a*(-1)+b=-pi/3
Rešimo i dobijemo a=pi/3 i b=0

Sada to vratimo u definiciju f-je, pa imamo da je na intervalu (-inf,-1) U (1, inf) fja x*pi/3, a na [-1,1] arctan(x*sqrt(3))

Pitanje diferencijabilnosti, opet krećeš od definicije funkcija je diferencijabilna na nekom intervalu ako za svaku tačku na intertvalu postoji lim (f(x)-f(c))/(x-c) za x->c (ako ovaj limes postoji to je onda f'(c)

Opet su nam problem samo tačke -1 i 1.
Prvi izvod arctan funkcije je sqrt(3)/(3x^2+1), a funkcije x*pi/3 je samo pi/3. Kada x teži 1 sa leve strane izvod je sqrt(3)/4, a sa desne strane je pi/3. Dakle funkcija nije diferencijabilna u x=1, a isto tako se pokazuje da nije ni u x=-1.

djoka_l, ne znas koliko sam ti zahvalan za ovo :) Ukapirao sam, ima smisla, samo treba krenuti ispocetka..

miki069, matematicki fakultet, ali smer informatika, tako da nije kao sto zvuci na prvi pogled da prvenstveno studiramo matematiku (za to postoje drugi smerovi na matematickom), glavni fokus je na informatiku a ovo je sa strane..

Bilo kako bilo, jos ova 2 zadatka + crtanje grafika (to znam ali je dugacak postupak) cine ispit u januarskom roku, pa ako neko moze da mi pomogne i oko ovoga super, a ako nema, nema veze dosta je i ono... :) Nisam pohlepan :)





BTW sto se tice ova dva zadatka, ja sam pre pokusavao da radim onako kao specijalni slucaj Tejlorove formule kada je a = 0, onako "pesaka" na foru:
f(x) = Tn,0 + Rn,0(x)
Medjutim, mislim da sam negde procitao (samo ne mogu da se setim gde) da vec postoje specijalni postupci za Maklorena kada se radi npr o sinusima, cosinusima, ln-u, itd, i mislim da bi sa tim ovaj zadatak bas bio lagan, jel zna nesto mozda o cemu pricam?

Jos jedna stvar, da li mozda neko zna kako bi mogao da se zove onaj zadatak sa ispitivanjem diferencijabilnosti na engleskom, mislio sam da pogledam nesto i na YouTubu ako ima sta kvalitetno..

Hvala

Izvinjavam se ako kvarim koncepciju :), ali da ne otvaram novu temu, postavicu svoj "problem" ovde :).

C=Q/A*( 1- e^-(t/T))

Trebam izracunati t. Da li bi mi neko mogao oko toga pomoci, tj.da vidim postupak? Hvala.

Potpis

Statistika je kao bikini: otkriva sve, a ne pokazuje nista.

Uradi se zamena t/T=ln y
y je novo uvedena pomocna promenjiva koja uproscava jednacinu da

C=Q/A(1-1/y)

pomnoze se obe strane sa y

Cy=Q/A(y - 1)
(C-Q/A)y = - Q/A

dalje nastavi sam

y = ....
na kraju se zameni y u t=Tlny

Hvala . Moja prepreka je lezala odmah tu e^-lnb=-1/b

Potpis

Statistika je kao bikini: otkriva sve, a ne pokazuje nista.

Ovde se sme koristiti Lopitalovo pravilo (mada ne vidim potrebu, jer se moze resiti izvlacenjem najstarijeg clana). Postoji nesto sto se zove "Lopitalovo pravilo za nizove". Sustina je da mi uvek (kada limes postoji) pomocu Hajneove teoreme mozemo da se prebacimo sa na posmatranje , uzimajuci npr. da je .

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Možda nešto nisam dobro razumeo, ali ovo nije baš uvek tačno. Recimo, važi , ali ne postoji.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Tacno, taj primer sam imao u glavi, al nisam hteo da dodatno komplikujem. Kada sam mislio na postojanje, mislio sam na obostrano (mada tako nisam rekao, slazem se). I gore , bez dela . Nisam znao da jos uvek citas forum, al moras kad si moderator :)

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Ako postoji , onda postoji i i poklapaju se. To je već tačno u opštem slučaju, kada je realna funkcija i kada postoji neko takvo da je .

Iz divergencije realnog limesa ne sledi divergencija niza, ali iz konvergencije realnog limesa sledi konvergencija niza.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Ljudi, evo nasao sam jos jedan rok, i isti zadatak ajde bar da vidim da li sam tu naucio kako se radi, dakle da proverim sebe sutra imam ispit pa makar ovaj lepo da naucim posto druge stvari jesam manje vise..



evo ga moj postupak, molim vas da me ispravite, i da mi kazete gde gresim.. :/



Hvala jos jednom :)

Da li moze pomoc oko ovoga? Treba da nadjem izvod po "r"?
Hvala :)

Potpis

Statistika je kao bikini: otkriva sve, a ne pokazuje nista.