Nekoliko zadataka, inverzni i neutralni elementi i Dedekindovi rezovi

Nekoliko zadataka, inverzni i neutralni elementi i Dedekindovi rezovi 14.01.2014. u 17:31 · pre 155 meseci #1

Imam nekoliko zadataka koje ne znam dali su mi tačni, a nekoliko njih i ne znam rešiti, pa bih bila zahvalna za bilo kakvu pomoć.
Ovako:
1. Ako je operacija „*“ na skupu R definisana sa $x*y=x+y+x∙y$ i neutralni elemenat je $e=0$ , onda inverzni element ima oblik:
Ovde sam koristila da je $x*x_1=e$ , pa onda imamo $x*x_1=x+x_1+x x_1=0$ , pa $x_1(1+x)=0-x$ , odakle je $x_1={-x \over(1+x)}$
2. Ako je operacija „*“ na skupu R definisana sa $x*y=x+y+1$ i neutralni elemenat je $e=-1$ , onda inverzni element ima oblik:
Ovde sam koristila da je $x*x_1=e$ , pa onda imamo $x*x_1=x+x_1+1=-1$ , pa $x_1=-2-x$
3. Ako je operacija „*“ na skupu R definisana sa $x*y=x+y-\pi$ , onda je neutralni element oblika:
Ovde sam koristila da treba $x*e=x$ , pa imamo $x*e=x+e-\pi=x$ , odakle $e=\pi$
4. Imam nekoliko zadataka gde se traži pretstavljanje nekog broja Dedekondovim rezovima, što mene zbunjuje. Konkretno treba pretstaviti brojeve $8, -8, \sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, -\sqrt{3}, \sqrt[3]{3}, -\sqrt[3]{3}$
po nekoj mojoj logici, za $8$ bi bilo $A= \left\{{x\in Q|x<8}\right\} , B= \left\{{x\in Q|x>8}\right\}$ a za $-8:A= \left\{{x\in Q|x<-8}\right\} , B= \left\{{x\in Q|x>-8}\right\}$
za korene ne znam, nemam materijala sa primerima, a od teorije koju sam našla ne mogu izvesti zaključak.
Još jednom, hvala unapred onome ko mi pomogne.

Re: Nekoliko zadataka, inverzni i neutralni elementi i Dedekindovi rezovi 15.01.2014. u 23:13 · pre 155 meseci #2

Dobro, zar niko ne želi bar da mi kaže jesam li u pravu ili da neke smernice? Stvarno sam zaglavila

Re: Nekoliko zadataka, inverzni i neutralni elementi i Dedekindovi rezovi 16.01.2014. u 11:13 · pre 155 meseci #3

Pa evo, za prvi zadatak, taj inverz nije definisan za $x=-1$ , jer i sam inverz mora pripadati pocetnom skupu, tj. $\mathbf{R}$ , dok za $x=-1$ bi imala iz $x_1 \cdot 0 = 1$ , pa ne postoji inverza za $-1$ . Tako da (cim spominjes trazenje inverza, verujem da se proverava da li je nesto grupa) $(\mathbf{R},*)$ nije grupa, jer za sve elemente iz $\mathbf{R}$ moras imati inverz, ali bi na primer $(\mathbf{R} \setminus \{-1\}, *)$ bila grupa. Drugi i i treci izgledaju dobro. Za cetvrti pogledaj npr. http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_cut, imas dole konstrukciju za $\sqrt{2}$ , isto bi islo i za $\sqrt{3}$ , dok razmisli da li bi isto bilo za $\sqrt[3]{3}$ , jer on je neparan koren, pa cuva znak.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Nekoliko zadataka, inverzni i neutralni elementi i Dedekindovi rezovi 16.01.2014. u 11:13 · pre 155 meseci #4

Prva 3 zadatka su tačno urađena, uz napomenu koju ti je dao Sonec.
.

Re: Nekoliko zadataka, inverzni i neutralni elementi i Dedekindovi rezovi 16.01.2014. u 11:47 · pre 155 meseci #5

Hvala puno !
Za treći zadatak bi onda bilo ovako:
za $8$ bi bilo $A= \left\{{x\in Q|x \le 8}\right\} , B= \left\{{x\in Q|x>8}\right\}$ a za $-8:A= \left\{{x\in Q|x \le -8}\right\} , B= \left\{{x\in Q|x>-8}\right\}$
za $\sqrt{2}$ bi bilo $A= \left\{{x\in Q|x^2<2} \vee x<0\right\} , B= \left\{{x\in Q|x^2<2} \wedge x>0\right\}$
za $\sqrt{3}$ bi bilo $A= \left\{{x\in Q|x^2<3} \vee x<0\right\} , B= \left\{{x\in Q|x^2<3} \wedge x>0\right\}$
dok bi za $\sqrt[3]{3}$ bilo $A= \left\{{x\in Q|x^3<3}\right\} , B= \left\{{x\in Q|x^3>3}\right\}$
Dali je ovako dobro? I što bi se promenilo kad su ovi brojevi negativni? Izvinite, ali o d onoga što sam pročitala, ne mogu baš da razumem.
Hvala još jednom!

Re: Nekoliko zadataka, inverzni i neutralni elementi i Dedekindovi rezovi 19.01.2014. u 23:13 · pre 155 meseci #6

Za broj 8, tj. -8, ti skup $A$ nije dobar, jer ne sme imati maksimalan element. Za $\sqrt{2}$ , tj. $\sqrt{3}$ skup $B$ nije dobar, jer zelis $x^2>2$ , tj. $x^2>3$ . Ja se nadam da ti razumes zasto se ovako ovo radi. Naime, kod $\sqrt{2}$ ti zelis $A=(-\infty, \sqrt{2})$ i $B=(\sqrt{2}, \infty)$ , ali ti u ovom trenutku nemas sve realne brojeve, pa ne mozes ovako pisati, vec moras preko racionalnih. Zato ovi tvoji skupovi izgledaju kako izgledaju, ako nacrtas sliku (brojevnu pravu) videces tacno sta oni predstavljaju. Za $\sqrt[3]{3}$ je dobro. Za negativne moras sama, pa cu ispraviti ako treba.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Nekoliko zadataka, inverzni i neutralni elementi i Dedekindovi rezovi 20.01.2014. u 23:07 · pre 155 meseci #7

Koliko sam shvatila, ( a izvinjavam se ako nisam), onda bi trebalo ovako:

za $\sqrt{2}$ bi bilo $A= \left\{{x\in Q|x^2<2} \vee x<0\right\} , B= \left\{{x\in Q|x^2>2} \wedge x>0\right\}$
za $\sqrt{3}$ bi bilo $A= \left\{{x\in Q|x^2<3} \vee x<0\right\} , B= \left\{{x\in Q|x^2>3} \wedge x>0\right\}$
t.j, nije mi bio dobro definisan gornji skup.
Za negativne brojeve bi bilo, na primer za $-\sqrt{3}$ bi bilo $A= \left\{{x\in Q|x^2 \ge 3 \wedge x<0\right\} , B= Q \setminus A$
ZA racionalne brojeve mislim da sam dobro uradila, pošto su oni dedekindovi rezovi I vrste, t.j. u skupu A ima najveći element, a u skupu B nema najmanji, ali ima infimum. Tako sam bar pročitala, pa me ispravite ako grešim, jer iskreno, ne razumem :( A materijala skoro i da nemam...

Re: Nekoliko zadataka, inverzni i neutralni elementi i Dedekindovi rezovi 21.01.2014. u 17:15 · pre 155 meseci #8

Bicu iskren: ja nikada nisam radio zadatke sa Dedekindovim rezovima. Procitao kako se definisu skupovi $A$ i $B$ i video kako to u principu radi. Moguce je da si u pravu za prirodne brojeve, da su to neki Dedekindovi rezovi I vrste kako ih ti zoves, tako da ti tu ne mogu pomoci. Pogledaj kako ste definisali na predavanju, to je sve sto ti mogu reci. A malo mi je "glupo" da se za prirodne brojeve odredjuju Dedekindovi rezovi, jer koliko sam ja upoznat Dedekindovi rezovi se koriste u konstrukciji prelaza sa racionalnih na realne brojeve, pa mi nije jasno zasto bismo dirali mecku sa prirodnim, kad tu imamo npr. uvodjenje preko Peanovih aksioma.

Kod $-\sqrt{3}$ vidim da si stavila $x^2 \geq 3$ . Ja bih na tom mestu pre stavio $x^2>3$ , s tim da se onda nasi skupovi $A$ ne bi razlikovali, jer ne postoji $x \in \mathbf{Q}$ za koje je $x^2=3$ , pa ce sa $\geq$ prica ovde proci. I ja ne bih tako definisao skup $B$ , premda to jeste tacno, al koliko sam shvatio nas cilj je da "ekplicitno" napisemo kako izgleda taj skup. Uostalom, zasto tako nisi radila onda u ostalim primerima :)

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme