Zadatak iz funkcionalne analize

Zadatak iz funkcionalne analize 25.12.2013. u 08:25 · pre 156 meseci #1

Neka je $r,x\in \mathbb{R}$ , $0<r<1$ i $A_{n,r}(f)=\sum_{k=-n}^{n}r^{|k|}e^{ikx}f(r^k)$ , za $f\in C(0,\infty)$ , i $n\in \mathbb{N}\cup \{\infty\}$ . Ispitati da li su $A_{n,r}$ ograničeni linearni funkcionali. Da li postoji (uniformni) $\lim_{n \to \infty}A_{n,r}$ i $s-\lim_{n \to \infty}A_{n,r}$ za $r\in (0,1)$ ?
Linearnost je trivijalna, a ograničenost imamo iz sledećeg
$|A_{n,r}(f)|=|\sum_{k=-n}^{n}r^{|k|}e^{ikx}f(r^k)|\leq \sum_{k=-n}^{n}r^{|k|}|e^{ikx}||f(r^k)|\leq \sum_{k=-n}^{n}r^{|k|}||f||_C \leq ||f||_C \cdot(\frac{1+r}{1-r})$

Ali za ove limese nemam nikakvu ideju. Trebalo bi da ovaj zadatak radim danas pred aistentkinjom kao deo ispitnih obaveza.
Unapred hvala, za bilo kakvu pomoć!

Potpis

Vera je moja jedino ozbiljno znanje moje. Sve drugo je dečje sabiranje šarenog šljunka na jezeru.
Sveti vladika Nikolaj

Re: Zadatak iz funkcionalne analize 25.12.2013. u 08:39 · pre 156 meseci #2

Ovaj zadatak postavio sam i na math.stackexchange.com ali nemam korisnih odgovora.

Potpis

Vera je moja jedino ozbiljno znanje moje. Sve drugo je dečje sabiranje šarenog šljunka na jezeru.
Sveti vladika Nikolaj

Re: Zadatak iz funkcionalne analize 25.12.2013. u 09:05 · pre 156 meseci #3

Prema tome sto si pokazao, znas da je $A_{\infty,r}-A_{n,r}$ ogranicen linearan funkcional. Kako za svako $f \in C(0,\infty)$ vazi $|A_{\infty,r}-A_{n,r}|=|\sum_{|k|>n} r^{|k|} e^{ikx} f(r^k)|\leq \sum_{|k|>n} r^{|k|} |f(r^k)| \leq \| f \|_{\infty} \frac{2r^{n+1}}{1-r}$ , sledi da je $\| A_{\infty,r}-A_{n,r} \| \leq \frac{2r^{n+1}}{1-r} \to \infty$ kad $n \to \infty$ , pa postoji (uniformni) $\lim_{n\to \infty} A_{n,r}=A_{\infty,r}$ (za svako $r \in (0,1)$ ). A on povlaci da postoji i jaki limes $s- \lim_{n \to \infty} A_{n,r} = A_{\infty,r}$ .

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Zadatak iz funkcionalne analize 25.12.2013. u 09:08 · pre 156 meseci #4

Nama je Bilja rekla da je $s-lim$ jaki limes?

Potpis

Vera je moja jedino ozbiljno znanje moje. Sve drugo je dečje sabiranje šarenog šljunka na jezeru.
Sveti vladika Nikolaj

Re: Zadatak iz funkcionalne analize 25.12.2013. u 09:11 · pre 156 meseci #5

Jeste, tu sam se prevario. Ispravljeno. Kad zurim :)

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Zadatak iz funkcionalne analize 25.12.2013. u 22:17 · pre 156 meseci #6

Zahvaljujem kolegi

Potpis

Vera je moja jedino ozbiljno znanje moje. Sve drugo je dečje sabiranje šarenog šljunka na jezeru.
Sveti vladika Nikolaj

Re: Zadatak iz funkcionalne analize 16.03.2014. u 15:25 · pre 153 meseca #7

Citat:

Sonec:
Prema tome sto si pokazao, znas da je $A_{\infty,r}-A_{n,r}$ ogranicen linearan funkcional. Kako za svako $f \in C(0,\infty)$ vazi $|A_{\infty,r}-A_{n,r}|=|\sum_{|k|>n} r^{|k|} e^{ikx} f(r^k)|\leq \sum_{|k|>n} r^{|k|} |f(r^k)| \leq \| f \|_{\infty} \frac{2r^{n+1}}{1-r}$ , sledi da je $\| A_{\infty,r}-A_{n,r} \| \leq \frac{2r^{n+1}}{1-r} \to \infty$ kad $n \to \infty$ , pa postoji (uniformni) $\lim_{n\to \infty} A_{n,r}=A_{\infty,r}$ (za svako $r \in (0,1)$ ). A on povlaci da postoji i jaki limes $s- \lim_{n \to \infty} A_{n,r} = A_{\infty,r}$ .

Tek sad vidim, ovde je trebalo da pise $\| A_{\infty,r}-A_{n,r} \| \leq \frac{2r^{n+1}}{1-r} \to 0$ kad $n \to \infty$ , sto se i vidi iz dalje napisanog $\lim_{n\to \infty} A_{n,r}=A_{\infty,r}$ . Zbog vremenske ogranicenosti nisam mogao da ispravim originalan post.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme