Lep zadatak sa takmičenja

Odgovori Nova tema

6 odgovora
2.883 pregleda

Lep zadatak sa takmičenja 04.11.2013. u 16:23 · pre 158 meseci #1

Međuopštinsko tačmičenje, II godina srednje škole, 1990 i neke.

Rešiti u skupu realnih brojeva jednačinu:
$4^X + 9^X + 25^X = 6^X + 10^X + 15^X$

Dosta me je namučio.
Interesantan je za takmičenja iz matematike, a može negde pasti i na prijemnom ispitu.

Re: Lep zadatak sa takmičenja 04.11.2013. u 16:36 · pre 158 meseci #2

Uz smenu $a=2^x, b=3^x, c=5^x$ , jednačina postaje $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\iff (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

Dakle, $a=b=c\iff x=0$ je jedino rešenje.

Re: Lep zadatak sa takmičenja 04.11.2013. u 16:49 · pre 158 meseci #3

hm, a sta se dobija ako se sve podeli sa 2^x, pa sa 3^x, pa sa 5^x? mozda tako moze brze da se resi.

Re: Lep zadatak sa takmičenja 04.11.2013. u 17:15 · pre 158 meseci #4

Gorane svaka čast.
Milsim da je to jedini način da se uradi zadatak.

Numberu, delio sam ga sa svim i ne može ništa.

Re: Lep zadatak sa takmičenja 04.11.2013. u 19:23 · pre 158 meseci #5

Ma, pusti ga, zna samo da filozofira, a rešenja ni od korova.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Lep zadatak sa takmičenja 16.11.2013. u 22:40 · pre 157 meseci #6

Može i da se uradi preko teorije brojeva(kongurencije) tj. za x različito od 0
$4^x+9^x+25^x\equiv1^x+0^x+1^x\equiv 2 \pmod{3}$ a,
$6^x+10^x+15^x\equiv 0^x+1^x+0^x\equiv 1 \pmod{3}$
Ovim se vidi da jedino moguće rešenje može da bude x=0

Re: Lep zadatak sa takmičenja 18.11.2013. u 07:41 · pre 157 meseci #7

Traženo je rešenje u skupu realnih brojeva, a tu kongruencije ne pomažu.

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme