Zadaci iz moje zbirke - Vol. 2

Zadaci iz moje zbirke - Vol. 2 09.10.2013. u 00:46 · pre 159 meseci #1

Prvo citat iz knjige:

Dva paralelna trakasta provodnika sa priložene slike, sa strujom jačine $I=10[A]$ , djeluju na pravolinijski provodnik sa strujom jačine $I_1$ podužnom silom intenziteta $F'=200\Biggl[\frac{\mu N}{m}\Biggr]$ . Provodnici su veoma dugi. Poznato je $a=4[cm]$ , $b=2[cm]$ i $c=3[cm]$ . Odrediti jačinu struje u pravolinijskom provodniku i pravac i smjer sile $F'$ kao i ugao koji ona zaklapa sa $x$ -osom označenom na poprečnom presjeku na priloženoj slici.

Rješenje:

Struja elementa gornje trake, širine $\mathrm{d}x$ , na priloženoj slici, stvara na mjestu pravolinijskog provodnika magnetnu indukciju intenziteta:

$\mathrm{d}B_1=\frac{\mu_0I\mathrm{d}x}{2\pi ar}$

Vektori magnetne indukcije svih elemenata trakastog provodnika imaju isti pravac i smjer. Intenzitet vektora magnetne indukcije gornje trake je:

$B_1=\int\displaylimits_0^a\frac{\mu_0I\mathrm{d}x}{2\pi ar}=\frac{\mu_0I}{2\pi a}\ln\frac{a+c}{a}=42[T]$

Kraj citata.

Nije mi jasno zašto su granice od $0$ do $a$ , jer to rezultira nepravilnošću (argument od prirodnog logaritma ne može biti $0$ ) i otkud odjednom granice $a$ i $a+c$ ?

Clipboard04.gif4.98k

Re: Zadaci iz moje zbirke - Vol. 2 09.10.2013. u 09:00 · pre 159 meseci #2

Samo je glupo napisano. Integrališ 1/r po dx. U stvari trebalo bi da donja granica bude -(a+c) a gornja granica -c dx/x uzimajući u obzir orijentaciju x ose koja je nacrtana i uz pretpostavku da se provodnik sa strujom I1 nalazi u x=0.

Kada bolje razmislim, čini mi se da treba da bude u imeniocu logaritma c, a ne a.

1

Re: Zadaci iz moje zbirke - Vol. 2 09.10.2013. u 10:14 · pre 159 meseci #3

Citat:

Kada bolje razmislim, čini mi se da treba da bude u imeniocu logaritma c, a ne a.

I meni se cini da je tu stamparska greska. granice su od c do c + a. Zato je i stavio od 0 do a, mada je tako nepotrebno brljavo napisano.

Re: Zadaci iz moje zbirke - Vol. 2 09.10.2013. u 17:27 · pre 159 meseci #4

Citat:

djoka_l:Kada bolje razmislim, čini mi se da treba da bude u imeniocu logaritma c, a ne a.

Citat:

HeYoo:I meni se cini da je tu stamparska greska. granice su od c do c + a. Zato je i stavio od 0 do a, mada je tako nepotrebno brljavo napisano.

Možete li ovo bolje obrazložiti, s obzirom da je djoka_l rekao da donja granica treba biti $-(a+c)$ ? Još jednom hvala na pomoći svima.

Citat:

djoka_l:U stvari trebalo bi da donja granica bude -(a+c) a gornja granica -c

Zar ne bi trebalo obratno?

Re: Zadaci iz moje zbirke - Vol. 2 10.10.2013. u 11:18 · pre 159 meseci #5

OK, da počnem od prve formule:

$\mathrm{d}B_1=\frac{\mu_0I\mathrm{d}x}{2\pi ar}$

$\mathrm{d}B_1$ je magnetna indukcija dela trakastog provodnika širine dx na rastojanju r od beskonačnog linijskog provodnika. Da bismo dobili ukupnu indukciju, moramo sabrati doprinose svih ovih elementarnih linijskih provodnika.

Ako postavimo koordinatni sistem tako da je x osa u ravni crteža, i ide s leva u desno i ako postavimo da je centar koordinatnog sistema u tački gde beskonačni linijski provodnik sa strujom I1 prolazi kroz ravan crteža, tada je početak trakastog provodnika levo od koordinatnog početka na daljini a+c što u našem koordinatnom sistemu predstavlja tačku -(a+c) (minus znak je zato što je LEVO od koordinatnog početka). Kraj oblasti po kojoj radimo integraciju je na desnom kraju trakastog provodnika koji je na udaljenosti c od koordinatnog početka tj. na x osi ta tačka je -c.

Sa druge strane, r je funkcija od x. Uzmi neki dx na trakastom provodniku. Taj dx se nalazi na x osi na rastojanju r od koordinatnog početka i vrednost tog r je -x. Zašto -x - zato što je ceo provodnik na negativnom delu x ose i sve vrednosti x su na tom delu x ose negativne. Sa druge strane, vrednost r mora da bude pozitivna, a meri se od dx do koordinatnog početka (tj. do provodnika I1).

Sada nam integral posltaje

$B_1=\int\displaylimits_{-(a+c)}^{-c}\frac{\mu_0I\mathrm{d}x}{2\pi ar(x)}=\frac{\mu_0I}{2\pi a}\int\displaylimits_{-(a+c)}^{-c}{{dx}\over{-x}$

Dakle šta sam uradio: Izvukao sam ispred integrala ono što je konstantno, a r(x) (r koje je funkcija od x) sa zamenio vrednošću funkcije, što je -x.
Dalje, mogu da promenim znak kako ne bih radio sa -x, a tada moram da menjam i znak granice,kao i da zamenim donju i gornju granicu:

$\int\displaylimits_{-(a+c)}^{-c}{{dx}\over{-x}}=\int\displaylimits_{c}^{a+c}{{dx}\over{x}}$

Ovo je tablični integral: integral 1/x je ln(x), sada je gornja granica (a+c), a donja c pa imamo:

$\int\displaylimits_{c}^{a+c}{{dx}\over{x}}=ln(a+c)-ln(c)=ln{{a+c}\over{c}}$

Da smo uzeli da je koordinatni početak na levoj strani trakastog provodnika, tada bi granice integrala bile 0 i a, a podintegralna funkcija bi bila $1 \over {(a+c)-x}$ i to zato što je početak koordinatnog sistema na rastojanju a+c od linijskog provodnika, a rastojanje r se SMANJUJE kako se ide u desno po širini trakastog provodnika.
I na ovaj način bismo dobili isti rezultat.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme