2 Lagranzove D.J.

2 Lagranzove D.J. 05.10.2013. u 01:18 · pre 159 meseci #1

1. jednacina

Code:
http://oi42.tinypic.com/2cco2vd.jpg

Kako je svesti na oblik y=x*A(y')+B(y')? Pokusao sam i da transformisem jednacinu tako da x bude f-ja od y ali ne ide.

2. jednacina

Code:
http://oi39.tinypic.com/5fpz4y.jpg

Ovdje je problem integral, nemam ideju kako da ga rijesim.

Re: 2 Lagranzove D.J. 08.10.2013. u 18:11 · pre 159 meseci #2

Red bi bio da resimo bar jednu od ove dve jednacine. Ovom prilikom resavamo jednacinu $y=\frac{x}{2}\left(y'_x+\frac{y}{y'_x} \right)$ . Posle kratkog racuna nalazimo da je ona ekvivaletna jednacini $x(y'_x)^2-2yy'_x+xy=0$ . Sada uvodimo smenu $x=e^t$ i nasa jednacina postaje $(y'_t)^2-yy'_t+e^{2t}t=0$ . Sada je mozemo posmatrati kao kvadratnu jednacinu po promenljivoj $y'_t$ i dobijamo $y'_t=y \pm \sqrt{y^2-e^{2t}y}$ . Zatim uvodimo smenu $w=\frac{e^{2t}}{y}$ . Tada je $y'_t=\left(\frac{e^{2t}}{w}\right)'_t=\frac{e^{2t}(2w-w'_t)}{w^2}$ , pa se nasa jednacina posle malo racuna svodi na $w'_t=w \pm w\sqrt{1-w}$ sto je jednacina koja razdvaja promenljive. Dakle, $t=\int \frac{dw}{w \pm w\sqrt{1-w}}$ , sto je ako smo izabrali da dole bude znak $+$ jednako $t = \frac{\sqrt{1-w}-1}{w}+\frac{1}{2}\left[\log(1-\sqrt{1-w})-\log(\sqrt{1-w}+1)\right]+\text{const}.$ Sada nam je jos ostalo da vratimo smene $w=\frac{x^2}{y}$ i $t=\log x$ , sto ostavljam dokonima, i dobili smo resenje u implicitnom obliku.

Sve ovo je radjeno prilicno "tupo", nisam pazio na razna deljenja, oblasti definisanosti, ali ipak pokazuje jedan od mogucih metoda za resavanje date jednacine. Takodje, moguce je da ima racunskih gresaka, unapred se ogradjujem od istih.

Sto se tice drugog zadatka, ne verujem da ima elementarno resenje, Wolfram nije uspeo da ga izracuna.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: 2 Lagranzove D.J. 08.10.2013. u 18:30 · pre 159 meseci #3

Za obije jednacine u zbirci Demidovica stoji da su Lagranzove tako da sam kao takve pokusao da ih rijesim, nisam probao druge metode.
Hvala puno.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme