trigonometrijska jednacina (pomoc)

trigonometrijska jednacina (pomoc) 24.08.2013. u 17:43 · pre 160 meseci #1

Resiti jednacinu $\arcsin \frac{x^2-8}{8}=2arcsin\frac{x}{4}-\pi/2$ Ako moze bar ideja za ovaj zadatak, unapred hvala.

Re: trigonometrijska jednacina (pomoc) 24.08.2013. u 18:06 · pre 160 meseci #2

Kao prvo, jednačina je definisana za $x\in[-4,4]$ .

Za $x\in[-1,1]$ je $\arcsin(x)$ realan broj $y\in[-\pi/2,\pi/2]$ za koji je $\sin(y)=x$ .

Dakle, ako sa $y$ označimo $\arcsin(x/4)$ , onda je

$y\in[-\pi/2,\pi/2$ , $\sin(y)=x/4$ ,
$\cos(y)\geq 0$ zbog $x\in[-\pi/2,\pi/2$ , pa je $\cos(y)=\sqrt{1-x^2/16}$ .
$2y\in[-\pi,\pi]$ , $\cos(2y)=2\cos^2(y)-1=1-x^2/8$ ,
$\sin(2y-\pi/2)=-\sin(\pi/2-2y)=-\cos(2y)=x^2/8-1$ ,
$2y-\pi/2\in[-3\pi/2,\pi/2]$ .

Međutim, $2y-\pi/2=\arcsin(x^2/8-1)$ , pa je

$2y-\pi/2\in[-\pi/2,\pi/2]$ , $\sin(2y-\pi/2)=x^2/8-1$ ,
$y\in[0,\pi/2]$ , $x^2/8-1=1-x^2/8$ ,
$x^2=8$ .

Obzirom na $x/4=\sin(y)$ i $y\in[0,\pi$ , otpada mogućnost $x<0$ , pa ostaje samo

$x=2\sqrt 2$ .

Ostaje da se proveri da li je to zaista rešenje.

$\arcsin(0)=2\arcsin(\sqrt 2/2)-\pi/2$ ,
$0=2\pi/4-\pi/2$ ,
$0=0$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: trigonometrijska jednacina (pomoc) 24.08.2013. u 19:34 · pre 160 meseci #3

Bravo Nedeljko, hvala punoOo :)

Re: trigonometrijska jednacina (pomoc) 25.08.2013. u 16:34 · pre 160 meseci #4

Evo jos jedne jednacine ako moze pomoc, a glasi: $\arcsin \frac{2x}{1+x^2}+2\arctan x=-\pi$

Re: trigonometrijska jednacina (pomoc) 25.08.2013. u 19:21 · pre 160 meseci #5

Može na ovaj način
Iz $arcsin y=2arctan\frac{y}{1+\sqrt(1-y^2)}$ stavimo da je $x=\frac{y}{1+\sqrt(1-y^2)}$
Dobijamo $arcsin\frac{2x}{x^2+1}+arcsiny=-\pi$
Pošto je vrednost arcsin izmedju $[-\pi/2,\pi/2]$
Znači da je jedino moguće rešenje ako su oba jednaka -pi/2
Iz toga zakljucujemo da je y=-1 jedino rešenje
tj. $x=\frac{-1}{1+\sqrt(1-(-1)^2)}=-1$
Inače hvala za pomoć oko onog zadatka :)

Re: trigonometrijska jednacina (pomoc) 25.08.2013. u 19:48 · pre 160 meseci #6

ako je x=-1 jedino resenje, zamenom u istoj ne dobije se - $\pi$ , ili mozda gresim ;)

Re: trigonometrijska jednacina (pomoc) 25.08.2013. u 20:11 · pre 160 meseci #7

Mislim da grešiš jer
$arcsin(-1)=-\pi/2$
$tan(-\pi/4)=\frac{sin(-\pi/4)}{cos(-\pi/4)}=-1$
$arcsin(\frac{2(-1)}{(-1)^2+1})+2arctan(-1)=-\pi/2+(2*(-\pi/4))=-\pi$
I za ovu moju
$arcsin(-1)+arcsin(-1)=2arcsin(-1)=2*(-\pi/2)=-\pi$
I na guglu kad napišem arcsin(-1)+2arctan(-1) kaže -3.14159265

Re: trigonometrijska jednacina (pomoc) 25.08.2013. u 22:49 · pre 160 meseci #8

ok, hvala. Mada se ne bih setio da na ovaj nacin uradim zadatak ;)

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme