Dvojni integral (površina i zapremina)-

Dvojni integral (površina i zapremina)- 22.08.2013. u 14:37 · pre 161 mesec #1

Treba mi pomoć oko ovog zadatka. Pokušao sam da ga rešim, ali ne ide. 3D grafik je urađen u Mathematica-i (prvi put koristim), ali ne znam kako da sračunam površinu i zapreminu u programu (radi kontrole rezultata).

Re: Dvojni integral (površina i zapremina)- 22.08.2013. u 17:49 · pre 161 mesec #2

Za početak ti trebaju nejednačine, tj. za svaku jednakost (ravan Oxy ima jednačinu $z=0$ ) treba da pogodiš znak nejednakosti kojim treba da zameniš znak jednakosti u njoj. To se bira tako da sistem sve tri nejednačine ima rešenja, ali da skup rešenje predstavlja ograničenu oblast. Najpre primeti da se te dve jednačine mogu zameniti sledećim:

$x^2=2$ ,
$y^2=2-2z$ .

Ako bi bilo $z<0$ , onda bi za $y$ bilo proizvoljno velikih mogućnosti, pa oblast ne bi bila ograničena. Stoga je

$z>0$ .

Ako bi u jednačini $y^2=2-2z$ zamenio znak jednakosti znakom $>$ , opet bi bilo proizvoljno velikih mogućnosti za $y$ . Stoga je

$y^2<2-2z$ .

Slično tome, ne možemo staviti znak $>$ ni umesto znaka jednakosti u jednačini $x^2=2$ jer bi bilo proizvoljno velikih vrednosti za $x$ . Dakle, sistem nejednakosti glasi

$x^2<2$ ,
$y^2<2-2z$ ,
$z>0$ .

Da vidimo kako se kreću granice od $z$ za tačke koje mogu da zadovolje ovaj sistem. Obzirom da je

$2-2z>y^2\geq 0$ ,

važi $2-2z>0$ , odnosno $z<1$ . Uz uslov po $z$ iz sistema dobijamo da je

$0<z<1$ .

Zamislimo da smo fiksirali $z$ i ispitajmo kako se kreću granice od $y$ za tu fiksiranu vrednost od $z$ .

$2z-2<y<2-2z$ .

Zamislimo da smo fiksirali $y$ i $z$ i ispitajmo opseg vrednosti za $x$ za te fiksirane vrednosti od $y$ i $z$ .

$-\sqrt 2<x<\sqrt 2$ .

Dakle,

$V=\int_0^1\,dz\int_{-2+2z}^{2-2z}dy\int_{-\sqrt 2}^{\sqrt 2}dx=\int_0^1\,dz\int_{-2+2z}^{2-2z}2\sqrt 2dy=\int_0^1\sqrt 2(4-4z)\,dz=2\sqrt 2$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dvojni integral (površina i zapremina)- 22.08.2013. u 18:41 · pre 161 mesec #3

Nedeljko, hvala na brzom odgovoru. Za dva dana mi je ispit, pa mi mnogo znači. Sad mi je dosta jasnije. Ako možete da mi pomognete i oko površine preseka, ako ne-nema veze. Još jednom hvala

Edit: jedno pitanje: Imamo $2-2z>y^2=>0$ , da bi za granice po y imali $2z-2<y<2-2z$ . Gde je "nestao" kvadrat sa y, i zar granice ne bi trebale biti $\sqrt{2-2z}<y<-\sqrt{2-2z}$ ?

Re: Dvojni integral (površina i zapremina)- 22.08.2013. u 23:04 · pre 161 mesec #4

Jeste, treba kvadratni koren.

Dakle,

$-\sqrt 2<x<\sqrt 2$ ,
$-\sqrt 2<y<\sqrt 2$ ,
$z=1-y^2/2$ ,

Površinski element je $\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}=\frac{\sqrt{4+y^2}}2$ .

$P_1=\int_{-\sqrt 2}^{\sqrt 2}dx\int_{-\sqrt 2}^{\sqrt 2}\frac{\sqrt{4+y^2}}2\,dy=\int_{-\sqrt 2}^{\sqrt 2}(\ln(2+\sqrt 3)+\sqrt 3)\,dx=2\sqrt 2(\ln(2+\sqrt 3)+\sqrt 3)$ .

To ti je jedna od šest površi. Druga je

$-\sqrt 2<x<\sqrt 2$ ,
$-\sqrt 2<y<\sqrt 2$ ,
$z=0$ .

$P_2=8$ .

Naredne dve dobijaš kada izračunaš opsege za $x$ (nezavisno) i $z$ (preko $x$ ), a $y$ zameniš svakom od dve granice koje zavise od $x$ i $z$ .

$-\sqrt 2<x<\sqrt 2$ ,
$0<z<1$ ,
$y=\sqrt{2-2z}$ ,

$-\sqrt 2<x<\sqrt 2$ ,
$0<z<1$ ,
$y=-\sqrt{2-2z}$ .

Poslednje dve dobijaš kada npr. izračunaš opsege za $y$ nezavsino, za $z preko y$ i onda zameniš $x$ krajnjim vrednostima u zavisnosti od $y$ i $z$ .

$-\sqrt 2<y<\sqrt 2$ ,
$0<z<1-y^2/2$ ,
$x=\sqrt 2$ ,

$-\sqrt 2<y<\sqrt 2$ ,
$0<z<1-y^2/2$ ,
$x=-\sqrt 2$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dvojni integral (površina i zapremina)- 23.08.2013. u 12:32 · pre 161 mesec #5

Hvala za površine. Imam još samo jedno pitanje: za prvi površinski element, zar ne bi trebalo $({\delta y\over\delta z})^2={2y\over2}^2=y^2$ ? Slabo mi ide Tex, ali razumete sta mislim. pozdrav

Re: Dvojni integral (površina i zapremina)- 23.08.2013. u 13:42 · pre 161 mesec #6

Ako je $z=1-y^2/2$ , onda je

$\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2=(-y)^2=y^2$ ,

pa je površinski element $\sqrt{1+y^2}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dvojni integral (površina i zapremina)- 22.01.2014. u 20:42 · pre 155 meseci #7

Imam problem oko zadatka sa poslednjeg roka. Da ne otvaram novu temu postavicu ga ovdje.

Asistent mi je rekao da je najlakše da izračunam zapreminu ovog odsječka konusa i oduzmem od zapremine konusa

To su ovi osjenčeni djelovi

Svaka pomoć je dobrodošla.
Pozdrav

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme