pomoć oko proizvoda kosinusa

pomoć oko proizvoda kosinusa 07.05.2013. u 20:07 · pre 164 meseca #1

treba izračunati
$\prod_{i=1}^{17}\cos\frac{i\pi}{17}$

Moj pokušaj je bio deljenje sinusom i korišćenje sinusa dvostrukog ugla. Međutim, to ne vodi do rešenja jer ne obuhvata npr i=3 itd. Pomozite :)

Re: pomoć oko proizvoda kosinusa 07.05.2013. u 20:48 · pre 164 meseca #2

Probaj da proizvod za i=1 i i=16 pretvoriš u zbir.
Isto tako za i=2 i i=15.
Pa za i=3 i i=14.
...i=8 i i=9.

Ili neke da pretvaraš u zbir, a neke da ne diraš.

Re: pomoć oko proizvoda kosinusa 07.05.2013. u 22:15 · pre 164 meseca #3

Rešenje je prosto. Treba da svodiš sve na uglove u opsegu $(0,\pi)$ . Ako je $c_k=\cos(k\pi/17)$ , onda je $c_{k+17}=-c_k$ . Onda ideš sa dupliranjem uglova pa dobijaš da je

$c_{32}=-c_{15}$ ,
$-c_{30}=c_{13}$ ,
$c_{26}=-c_9$
$-c_{18}=c_1$ ,

pa je

$c_1c_2c_4c_8c_{16}(-c_{15})c_{13}(-c_9)=\frac 1{256}$ .

Ovo je isto što i

$c_1c_2c_4c_8c_{16}c_{32}c_{64}c_{128}=\frac 1{256}$ .

Drugim rečima je

$c_1c_2c_4c_8c_9c_{13}c_{15}c_{16}=\frac 1{256}$ .

Zatim kreneš od $c_3$ , pa opet udvostručavaš uglove dobijajući

$c_3c_6c_{12}(-c_7)(-c_{14})c_{11}(-c_5)(-c_{10})=\frac 1{256}$ ,

odnosno

$c_3c_5c_6c_7c_{10}c_{11}c_{12}c_{14}=\frac 1{256}$ .

Konačno je

$c_1c_2c_3c_4c_5c_6c_7c_8c_9c_{10}c_{11}c_{12}c_{13}c_{14}c_{15}c_{16}=\frac 1{65536}$ ,

odnosno obzirom da je $\cos(17\pi/17)=\cos(\pi)=-1$ ,

$\prod_{i=1}^{17}\cos(i\pi/17)=-\frac 1{65536}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: pomoć oko proizvoda kosinusa 07.05.2013. u 23:00 · pre 164 meseca #4

A evo i malo opstijeg rezultata, ako ja nisam negde pogresio, a to je $\prod_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)=(2i)^{1-n} \frac{1-(-1)^n}{2(-1)^{n-1}}$ , gde $i$ predstavlja imaginarnu jedinicu.

U nasem konkretnom slucaju imali bismo $\prod_{k=1}^{17}\cos\left(\frac{k\pi}{17}\right)=\cos \pi \prod_{k=1}^{16}\cos\left(\frac{k\pi}{17}\right)=-(2i)^{-16}\frac{1-(-1)^{17}}{2(-1)^{16}}=-\frac{1}{2^{16}}=-\frac{1}{65536}$

A evo i postupka kako mozemo doci do ove formule:

$\prod_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\prod_{k=1}^{n-1}\left(\frac{\exp(ik\pi/n)+\exp(-ik\pi/n)}{2}\right)=2^{1-n} \exp(-i\pi (n-1)/2)\prod_{k=1}^{n-1}\left(\exp(2ik\pi/n)+1\right)=(2i)^{1-n} \prod_{k=1}^{n-1} (\exp(2ik\pi/n)+1)$ .

Naravno, sada je kljuc naci $\prod_{k=1}^{n-1} (\exp(2ik\pi/n)+1)$ . Verovatno sam deo koji predstoji zakomplikovao nepotrebno. Prvo, uvedimo oznaku (hint = ciklotomicni polinom) $\xi = \exp(2i\pi/n)$ . Sada je $\prod_{k=1}^{n-1} (\exp(2ik\pi/n)+1)=\prod_{k=1}^{n-1} (\xi^k+1)$ .

Poznata nam je obrazac $x^n-1=(x-1)(1+x+\cdots+x^{n-1})$ , a sa druge strane vazi $x^n-1=\prod_{k=0}^{n-1} (x-\xi^k)$ . Dakle, vazi $\prod_{k=1}^{n-1} (x-\xi^k)=\frac{x^n-1}{x-1}$ . Stavljajuci $x=-1$ nalazimo $(-1)^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1}(\xi^k+1)= \prod_{k=1}^{n-1} (-1-\xi^k)=\frac{(-1)^n-1}{(-1)-1}$ , odnosno $\prod_{k=1}^{n-1} (\xi^k+1)=\prod_{k=1}^{n-1} (\exp(2ik\pi/n)+1)=\frac{1-(-1)^n}{2(-1)^{n-1}}$ . A odatle lako nalazimo da vazi $\prod_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)=(2i)^{1-n} \frac{1-(-1)^n}{2(-1)^{n-1}}$ .

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: pomoć oko proizvoda kosinusa 07.05.2013. u 23:29 · pre 164 meseca #5

S tim da se taj izraz može uprostiti, što znači da "nisi prepisivao" ;).

$\frac{i^{1-n}}{(-1)^{n-1}}=\frac{(1/i)^{n-1}}{(-1)^{n-1}}=\frac{(-i)^{n-1}}{(-1)^{n-1}}=i^{n-1}, \frac{2^{1-n}}{2}=\frac 1{2^n}$

Konačno je

$\prod_{k=1}^{n-1}\cos(k\pi/n)=\frac{1-(-1)^n}{2^n}i^{n-1}$ .

Odnosno, za $n$ parno to je $0$ , a za $n$ neparno to je $\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{2^{n-1}}$ .

Odlično Sonec!

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: pomoć oko proizvoda kosinusa 08.05.2013. u 12:26 · pre 164 meseca #6

Pretpostavljam da je moguce na isti nacin uraditi i proizvod sa sinusima? Da se tamo kod onog ciklotrona :) stavi x=1...
I da li se onda moze uspostaviti veza sa proizvodom $\prod_{k=1}^{n-1} \exp(i k\pi/n)$ , koji se lako racuna?

Re: pomoć oko proizvoda kosinusa 08.05.2013. u 13:06 · pre 164 meseca #7

$\prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n)=\prod_{k=1}^{n-1}\left(\frac{\exp(ik\pi/n)-\exp(-ik\pi/n)}{2i}\right)=(2i)^{1-n} \exp(-i\pi (n-1)/2)\prod_{k=1}^{n-1}\left(\exp(2ik\pi/n)-1\right)=2^{1-n} \prod_{k=1}^{n-1} (1-\exp(2ik\pi/n))$ ,
$\prod_{k=1}^{n-1}(1-\exp(2ik\pi/n))=\prod_{k=1}^{n-1}(1-\xi^k)$ ,
$1+x+\cdots+x^{n-1}=\prod_{k=1}^{n-1}(x-\xi^k)$ ,
$\prod_{k=1}^{n-1}(1-\exp(2ik\pi/n))=n$ ,
$\prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n)=n/2^{n-1}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: pomoć oko proizvoda kosinusa 08.05.2013. u 15:04 · pre 164 meseca #8

Hvala na odgovorima ali ja ništa od ovoga ne razumem :(
Mnogo bi mi značilo da neko detaljnije razjasni prvi Nedeljkov odgovor. Kao prvo, kako to misliš svesti na (0, Pi) ? Zar nisu svi uglovi već u tom opsegu?
Drugo, šta podrazumevaš pod "udvostručavanjem uglova" ? Kosinus dvostrukog ugla?

Re: pomoć oko proizvoda kosinusa 08.05.2013. u 16:27 · pre 164 meseca #9

Evo ovako: Koristiš formulu za sinus dvostrukog ugla:

$\cos(x)\cos(2x)\cos(4x)=\frac{(\sin(x)\cos(x))\cos(2x)\cos(4x)}{\sin(x)}=\frac{(\sin(2x)\cos(2x))\cos(4x)}{2\sin(x)}=\frac{\sin(4x)\cos(4x)}{4\sin(x)}=\frac{\sin(8x)}{8\sin(x)}$ .

E, sad, pođi od $\pi/17$ .

$\begin{array}{l} \displaystyle\cos(\pi/17)\cos(2\pi/17)\cos(4\pi/17)\cos(8\pi/17)\cos(16\pi/17)\cos(15\pi/17)\cos(13\pi/17)\cos(9\pi/17)= \vspace{0.5em}\\ \displaystyle=\frac{\sin(\pi/17)\cos(\pi/17)\cos(2\pi/17)\cos(4\pi/17)\cos(8\pi/17)\cos(16\pi/17)\cos(15\pi/17)\cos(13\pi/17)\cos(9\pi/17)}{\sin(\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ \displaystyle=\frac{\sin(2\pi/17)\cos(2\pi/17)\cos(4\pi/17)\cos(8\pi/17)\cos(16\pi/17)\cos(15\pi/17)\cos(13\pi/17)\cos(9\pi/17)}{2\sin(\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ \displaystyle=\frac{\sin(4\pi/17)\cos(4\pi/17)\cos(8\pi/17)\cos(16\pi/17)\cos(15\pi/17)\cos(13\pi/17)\cos(9\pi/17)}{4\sin(\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ \displaystyle=\frac{\sin(8\pi/17)\cos(8\pi/17)\cos(16\pi/17)\cos(15\pi/17)\cos(13\pi/17)\cos(9\pi/17)}{8\sin(\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ \displaystyle=\frac{\sin(16\pi/17)\cos(16\pi/17)\cos(15\pi/17)\cos(13\pi/17)\cos(9\pi/17)}{16\sin(\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ \displaystyle=\frac{\sin(32\pi/17)\cos(15\pi/17)\cos(13\pi/17)\cos(9\pi/17)}{32\sin(\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ \displaystyle=-\frac{\sin(15\pi/17)\cos(15\pi/17)\cos(13\pi/17)\cos(9\pi/17)}{32\sin(\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ \displaystyle=-\frac{\sin(30\pi/17)\cos(13\pi/17)\cos(9\pi/17)}{64\sin(\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ \displaystyle=\frac{\sin(13\pi/17)\cos(13\pi/17)\cos(9\pi/17)}{64\sin(\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ \displaystyle=\frac{\sin(26\pi/17)\cos(9\pi/17)}{128\sin(\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ \displaystyle=-\frac{\sin(9\pi/17)\cos(9\pi/17)}{128\sin(\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ \displaystyle=-\frac{\sin(18\pi/17)}{256\sin(\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ \displaystyle=\frac{\sin(\pi/17)}{256\sin(\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ \displaystyle=\frac{1}{256} \end{array}$

Sad isto to uradi polazeći od $3\pi/17$ .

$\begin{array}{l} \displaystyle\cos(3\pi/17)\cos(6\pi/17)\cos(12\pi/17)\cos(7\pi/17)\cos(14\pi/17)\cos(11\pi/17)\cos(5\pi/17)\cos(10\pi/17)= \vspace{0.5em}\\ =\displaystyle\frac{\sin(3\pi/17)\cos(3\pi/17)\cos(6\pi/17)\cos(12\pi/17)\cos(7\pi/17)\cos(14\pi/17)\cos(11\pi/17)\cos(5\pi/17)\cos(10\pi/17)}{\sin(3\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ =\displaystyle\frac{\sin(6\pi/17)\cos(6\pi/17)\cos(12\pi/17)\cos(7\pi/17)\cos(14\pi/17)\cos(11\pi/17)\cos(5\pi/17)\cos(10\pi/17)}{2\sin(3\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ =\displaystyle\frac{\sin(12\pi/17)\cos(12\pi/17)\cos(7\pi/17)\cos(14\pi/17)\cos(11\pi/17)\cos(5\pi/17)\cos(10\pi/17)}{4\sin(3\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ =\displaystyle\frac{\sin(24\pi/17)\cos(7\pi/17)\cos(14\pi/17)\cos(11\pi/17)\cos(5\pi/17)\cos(10\pi/17)}{8\sin(3\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ =\displaystyle-\frac{\sin(7\pi/17)\cos(7\pi/17)\cos(14\pi/17)\cos(11\pi/17)\cos(5\pi/17)\cos(10\pi/17)}{8\sin(3\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ =\displaystyle-\frac{\sin(14\pi/17)\cos(14\pi/17)\cos(11\pi/17)\cos(5\pi/17)\cos(10\pi/17)}{16\sin(3\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ =\displaystyle-\frac{\sin(28\pi/17)\cos(11\pi/17)\cos(5\pi/17)\cos(10\pi/17)}{32\sin(3\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ =\displaystyle\frac{\sin(11\pi/17)\cos(11\pi/17)\cos(5\pi/17)\cos(10\pi/17)}{32\sin(3\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ =\displaystyle\frac{\sin(22\pi/17)\cos(5\pi/17)\cos(10\pi/17)}{64\sin(3\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ =\displaystyle-\frac{\sin(5\pi/17)\cos(5\pi/17)\cos(10\pi/17)}{64\sin(3\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ =\displaystyle-\frac{\sin(10\pi/17)\cos(10\pi/17)}{128\sin(3\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ =\displaystyle-\frac{\sin(20\pi/17)}{256\sin(3\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ =\displaystyle\frac{\sin(3\pi/17)}{256\sin(3\pi/17)} \vspace{0.5em}\\ =\displaystyle\frac{1}{256} \end{array}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: pomoć oko proizvoda kosinusa 08.05.2013. u 18:29 · pre 164 meseca #10

E to je to. Hvala.

Moj pokušaj je bio nešto nalik ovome ali me je zbunilo to što se preskaču neki činioci udvostručavanjem. Nije mi pala na pamet ideja da iz više prolaza "pohvatam" sve.

Hvala puno.

Re: pomoć oko proizvoda kosinusa 12.05.2013. u 18:18 · pre 164 meseca #11

Darko: Taj proizvod se "lako" racuna preko geometrijskog reda. A sad, da li formule za proizvod sinusa i kosinusa mogu posluziti da se taj proizvod izracuna pomocu njih? Ne znam. Ne izgleda ocigledno.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: pomoć oko proizvoda kosinusa 12.05.2013. u 22:34 · pre 164 meseca #12

Pogledaj račun malo iznad.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: pomoć oko proizvoda kosinusa 12.05.2013. u 23:36 · pre 164 meseca #13

Nedeljko, pogledaj sta je Darko pitao. Nisam mislio na te proizvode.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: pomoć oko proizvoda kosinusa 13.05.2013. u 09:22 · pre 164 meseca #14

Sonec, ono sto sam ja mislio je da je $\prod_{k=1}^{n-1} \exp(i k\pi/n) = \exp \left( \sum_{k=1}^{n-1} {i k\pi \over n} \right) = \exp \left( {i \pi \over n} \sum_{k=1}^{n-1} k \right) = \exp \left( {i \pi \over n} {n(n-1) \over 2} \right) = \exp \left( {i \pi \over 2}(n-1) \right)$ , ako nisam nesto pogresio...

Sa druge strane je $\prod_{k=1}^{n-1} \exp(i k\pi/n) = \prod_{k=1}^{n-1} \left( \cos(k\pi/n) + i \sin(k\pi/n) \right)$ , pa se mozda mogu iskoristiti formule koje ste ovde izveli ti i Nedeljko... Ne izgleda ocigledno, svakako, ali eto to mi je palo na pamet...

Re: pomoć oko proizvoda kosinusa 13.05.2013. u 09:42 · pre 164 meseca #15

Ja mislim da sam tako nesto i rekao u mojoj poruci :)
Razumeli smo se.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme