Linijski integral I vrste - problem

Linijski integral I vrste - problem 18.04.2013. u 22:39 · pre 165 meseci #1

Da ne prekucavam, u pitanju je treći zadatak sa prvog kolokvijuma:
http://imi.pmf.kg.ac.rs/moodle...vni_kolokvijumi-25.06.2011.pdf

Ako elipsu prevedem u parametaski oblik: X=2*cos(t), Y=sin(t), gde usmereno od tačke A do B, t uzima vrednosti
od nula do PI/2, izračunam ds, na kraju dobijem vrednost integrala 14/9.

Ako elipsu prevedem u esplicitno rešen Y u f-ji od X, gde X uzma vrednosti od 2 do nula,
izračunam ds, na kraju dobijem vrednost integrala -14/9.

Rezultat treba da bude isti. Mislim da je tačno rešenje 14/9.
Zbunjuje me kako iz eksplicitnog oblika dobijam -14/9?
Iz eksplicitnog oblika funkcija nije diferencijabilna za X=2, ali u proizvodu Y*ds se skrati sporni koren.
Probavao sam i verziju sa sklaćenim lukom (da ne ide od tačke A) da bi Y bio diferencijabilan u svim tačkama linije.
Opet iz parametaskog oblika dobijem pozitivnu vrednost integrala, a iz eksplicitnog istu vrednost ali negativnu.

Rađeno više puta. Ako je potrebno okačiću i celo rešenje.

Re: Linijski integral I vrste - problem 18.04.2013. u 23:24 · pre 165 meseci #2

Pa, verovatno si (dok ne vidim rad mogu samo da nagadjam) stavio $\int_2^0$ , a trebalo bi $\int_0^2$ , jer kad vrsis parametrizaciju tebi $x$ pripada $[0,2]$ , tj. $0 \le x \le 2$ , a ne $x \in [2,0]$ , to nema smisla.

Mali podsetnik: Neka je $C \subseteq \textbf{R}^n$ luk, i neka je $f:C \to \textbf{R}$ ogranicena funkcija. Linijski integral prve vrste funkcije $f$ po luku $C$ je $\int_C f(x) \mbox{d}l(x) = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\mbox{d} V_{\varphi}(t)$ , gde je $\varphi:[\alpha, \beta] \to C$ neka putanja luka. Dakle, ne mozes parametrizovati sa $\varphi: [2,0] \to C$ na primer. Uvek uzimamo da je $\alpha \le \beta$ , jer bi se inace mogli setati po krivi kako ocemo, u oba pravca, i dobijali bi suprotne vrednosti (kao sto je kod tebe sad bio slucaj).

Kod linijskog integrala druge vrste to vec nije tako, al to je druga stvar vec.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

1

Re: Linijski integral I vrste - problem 19.04.2013. u 01:39 · pre 165 meseci #3

Hvala Sonec.

Uzimao sam upravo $\int_2^0$ i to je dovelo do negativnog rezultata.

Hteo sam da poštujem "usmerenje" linije od tačke A do tačke B.
Kao kod linijskog integrala II vrste.
Izgleda da kod linijskog integrala I vrste, to "usmerenje" nije ni bitno.

Malo mi je nedorečeno ostalo ovo da mora biti uvek $\alpha \le \beta$
Liči mi kao da onda imam "usmerenje" od tačke B prema tački A.
Najverovatnije to moje "usmerenje" nije ni bitno, ali mi nekako šuplje bez njega.
Em linija nema "orjentaciju", još ako joj ukinemo i "usmerenje", meni tad liči na proizvoljnost.

Jasno je da si u pravu i da nije "proizvoljnost".
Daj naziv, ili još bolje link do, literature iz koje si izvadio ovaj "mali podsetnik".

Re: Linijski integral I vrste - problem 19.04.2013. u 08:31 · pre 165 meseci #4

Pozaboravljao sam sve detalje, ali $\left[ \alpha, \beta \right]$ je prazan skup za $\beta < \alpha$ , tako da to svakako ne moze biti skup preko koga se vrsi parametrizacija...

Re: Linijski integral I vrste - problem 19.04.2013. u 08:49 · pre 165 meseci #5

Darko ti je vec rekao, ne mozes uzeti onakvu parametrizaciju (tacnije, pripadnost parametra datom skupu), jer je onaj skup prazan.

Razmisljaj ovako (grubo): ti imas parce krive u prostoru i nemas nikakve tacke na njoj i ti samo zelis da je parametrizujes. I onda to uradis. Ovde su tacke A i B date samo da bi znali koji deo krive posmatramo, kao granice, ali ne i kao usmerenje.

Recenicu sam izvukao iz mojih predavanja od prosle godine, da bih bio precizan. Pogledaj PM (imam razlog zasto ne zelim javno da kacim).

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Linijski integral I vrste - problem 19.04.2013. u 11:46 · pre 165 meseci #6

miki069

Parametrizacija koja polazi od tačke A i ide do tačke B glasi:

$(2\cos(t),\sin(t))$ za $0\leq t\leq\pi/2$ ,

odnosno

$(2-t,\sqrt{t-t^2/4})$ za $0\leq t\leq 2$ .

U svakom slučaju, nema smisla da za parametar važi $2\leq t\leq 0$ jer je 2 veće od 0.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Linijski integral I vrste - problem 19.04.2013. u 17:56 · pre 165 meseci #7

Sve jasno.
Hvala svima.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme