operator ogranicenost...

operator ogranicenost... 10.12.2012. u 20:14 · pre 168 meseci #1

Molim jos malo pomoci...Intenzivno spremam ispit pa mi zapelo na sljedecem zadatku...
Imam niz operatora $A_{n}:L^{2}-->L^{2}$
$A_{n} x(t)=\frac {1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x(s)\frac{sin((2n+1)\frac{s-t}{2})}{sin \frac{s-t}{2}}ds$
Treba da ispitam ogranicenost...
Izgleda da je neogranicen, ali nekako se spetljam u racunu...
Konkretno sam probao sa x(t)=1 i dobio neku ln funkciju(pa sam morao tu da uvrstim 0)...Pa sam zakljucio da je neogranicen
ali nisam siguran da je to bas to...

Re: operator ogranicenost... 10.12.2012. u 20:25 · pre 168 meseci #2

Ne bi bilo loše da se zna šta je X(s).

Re: operator ogranicenost... 10.12.2012. u 20:26 · pre 168 meseci #3

x(s) $\in L^{2}$ . Odatle ooperator uzima vrijednost...

Re: operator ogranicenost... 10.12.2012. u 22:14 · pre 168 meseci #4

Ovo je ništa drugo do $n$ ta parcijalna suma Furijeovog razvoja $2\pi$ -periodične funkcije $x\in L_2(-\pi,\pi)$ pomnožena sa 2, a to je ograničen operator.

$a_0=\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi x(s)\,ds$ ,
$a_k=\frac 1{\pi}\int_{-\pi}^\pi x(s)\cos(ks)\,ds$ , $b_k=\frac 1{\pi}\int_{-\pi}^\pi x(s)\sin(ks)\,ds$ za $k\geq 1$ .

$S_n(t)=a_0+\sum_{k=1}^n(a_n\cos(kt)+b_n\sin(kt))=\frac 1\pi\int_{-\pi}^\pi x(s)\left(\frac 12+\sum_{k=1}^n\cos(ks)\cos(kt)+\sin(ks)\sin(kt)\right)\,ds=\frac 1\pi\int_{-\pi}^\pi x(s)\left(\frac 12+\sum_{k=1}^n\cos(k(t-s))\right)\,ds=\frac 1\pi\int_{-\pi}^\pi x(s)D_n(t-s)$ ,

gde je $D_n(u)=\frac 12+\sum_{k=1}^n\cos(ku)$ Dirihleovo jezgro. Množenjem i delenjem Dirihleovog jezgra sa $\sin(u/2)$ dobijamo da je

$D_n(u)=\frac 1{\sin(u/2)}\left(\frac{\sin(u/2)}2+\sum_{k=1}^n\cos(ku)\sin(u/2)\right)=\frac 1{\sin(u/2)}\left(\frac{\sin(u/2)}2+\sum_{k=1}^n\frac{\sin((k+1/2)u)-\sin((k-1/2)u)}2\right)=\frac{\sin((2n+1)u/2)}{2\sin(u/2)}$ .

E, sad, $n$ -ta parcijalna suma Furijeovog reda je zapravo projekcija na potprostor generisan funkcijama $1,\cos(t),\sin(t),\dots,\cos(nt),\sin(nt)$ , a projekcijski operator na potprostor dimenzije bar 1 uvek ima normu 1. Naravno, u normi razmatranog Hilbertovoh prostora, a to je kod tebe $L_2(-\pi,\pi)$ u njegovoj uobičajenoj normi, što ti se i traži.

Dakle, za svako $n\in N$ operator $A_n$ ima normu 2.

EDIT: Ispravka grešaka u kucanju.

_{[Ovu poruku je menjao Nedeljko dana 11.12.2012. u 12:13 GMT+1]}

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: operator ogranicenost... 10.12.2012. u 22:26 · pre 168 meseci #5

Svaka vam cast...Ni priblizna mi nije bila ideja...A mislio sam citav sat o ovome...

Srodne teme