Rešavanje sistema jednačina pomoću matrice (3x3). Pomoć.

Rešavanje sistema jednačina pomoću matrice (3x3). Pomoć. 08.12.2012. u 13:53 · pre 169 meseci #1

Ova (čista) jednačina se rešava ovako

,
a da li se može tom metodom nekako rešiti ovakav sistem (slučaj kada su neke od nepoznatih pod kvadratom) ? Da li postoji način ?

Hvala!

1

Re: Rešavanje sistema jednačina pomoću matrice (3x3). Pomoć. 08.12.2012. u 14:23 · pre 169 meseci #2

Tom metodom ne može.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Rešavanje sistema jednačina pomoću matrice (3x3). Pomoć. 08.12.2012. u 14:27 · pre 169 meseci #3

Inace, ta metoda je poznata pod nazivom Kramerovo pravilo.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Rešavanje sistema jednačina pomoću matrice (3x3). Pomoć. 08.12.2012. u 21:05 · pre 169 meseci #4

Citat:

Nedeljko:
Tom metodom ne može.

A kojom inače može ?

Re: Rešavanje sistema jednačina pomoću matrice (3x3). Pomoć. 08.12.2012. u 22:10 · pre 169 meseci #5

Uvedeš smenu $u=x^2$ , $v=y^2$ , pa onda imaš sistem

$a_1x+b_1y+c_1z=t_1$ ,
$a_2x+b_2v+c_2z=t_2$ ,
$a_3u+b_3v+c_3z=t_3$ ,
$u=x^2$ ,
$v=y^2$ .

Prve tri jednačine su linearne. Rešiš njih i ako su nezavisne, dobićeš rešenje koje zavisi od dva parametra, na primer $p$ i $q$ . Recimo da je

$x=\alpha_1p+\beta_1q+\gama_1$ ,
$y=\alpha_2p+\beta_2q+\gama_2$ ,
$u=\alpha_3p+\beta_3q+\gama_3$ ,
$v=\alpha_4p+\beta_4q+\gama_4$ .

Zamenimo to u poslednje dve jednačine.

$\alpha_3p+\beta_3q+\gama_3=(\alpha_1p+\beta_1q+\gama_1)^2$ ,
$\alpha_4p+\beta_4q+\gama_4=(\alpha_2p+\beta_2q+\gama_2)^2$ .

Ovo je sistem od dve kvadratne jednačine sa dve nepoznate. Iz prve možeš da izraziš $q$ preko $p$ , s tim da ćeš imati neki koren. To zameni u drugoj jednačini i dobićeš jednačinu samo po $p$ . Onda prebaci koren na jenu stranu, a sve ostalo na drugu, pa kvadriraj tu jednačinu da bi se oslobodio korena. Dobićeš jednačinu četvrtog stepena po $p$ . Postoje Feraraove formule za rešavanje jednačine četvrtog stepena, pa reši nju. Kada nađeš rešenja, onda izrazi $q$ preko $p$ . Obavezno proveri šta su od toga zaista rešenja i na kraju vrati sve to u izraze za $x$ , $y$ i $z$ i to ti je to. Treba da u opštem slučaju dobiješ četiri rešenja.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Rešavanje sistema jednačina pomoću matrice (3x3). Pomoć. 09.12.2012. u 14:15 · pre 169 meseci #6

Kako se određuju tu vrednosti alfa1, beta1, ..., p, q, kako se zove ta metoda ? I da li je to jedini način ?

Npr. kako bi se rešio ovaj primer postupno

1

Re: Rešavanje sistema jednačina pomoću matrice (3x3). Pomoć. 09.12.2012. u 17:02 · pre 169 meseci #7

$x+2y-5z=6$ ,
$2x+2z+v=5$ ,
$-4z-3u+3v=8$ ,
$u=x^2$ ,
$v=z^2$ .

Oduzimanjem prve jednačine pomnožene sa 2 od druge se dobija

$x+2y-5z=6$ ,
$-4y+12z+v=-7$ ,
$-4z-3u+3v=8$ .

Delenjem druge jednačine sa -4 dobija se

$x+2y-5z=6$ ,
$y-3z-v/4=7/4$ ,
$-4z-3u+3v=8$ .

Oduzimanjem druge jednačine pomnožene sa 2 od prve dobija se

$x+z+v/2=5/2$ ,
$y-3z-v/4=7/4$ ,
$-4z-3u+3v=8$ .

Delenjem treće jednačine sa -4 dobija se

$x+z+v/2=5/2$ ,
$y-3z-v/4=7/4$ ,
$z+3u/4-3v/4=-2$ .

Dodavanjem treće jednačine pomnožene sa 3 drugoj dobijamo da je

$x-3u/4+v/2=5/2$ ,
$y+9u/4-5v/2=-17/4$ ,
$z+3u/4-3v/4=-2$ .

Preostale dve promenljive možemo uzeti za parametre, tj.

$x=3u/4-v/2+5/2$ ,
$y=-9u/4+5v/2-17/4$ ,
$z=-3u/4+3v/4-2$ .

Sada to treba zameniti u poslednje dve jednačine

(*) $u=(3u/4-v/2+5/2)^2$ ,
(*') $v=(-9u/4+5v/2-17/4)^2$ .

Posle sređivanja prve jednačine dobijamo

$9u^2+u(44-12v)+100-40v=0$ ,

odnosno

$(9u+22-6v)^2=32(3v-13)$ .

Uvedimo novu promenljivu $w$ sa

$w=9u+22-6v$ , odnosno $u=(w+6v-22)/9$ .

Prethodna jednačina postaje

$w^2=32(3v-13)$ .

Jednačina (*') se može zapisati kao

$v=(-(w+6v-22)u/4+5v/2-17/4)^2$ .

Posle kvadriranja $w$ zameni sa $32(3v-13)$ . Dobićeš jednačinu po $v$ i $w$ . Prebaci $w$ na jednu stranu, a sve ostalo na drugu. Kvadriraj jednačinu i ponovo zameni $w^2$ sa $32(3v-13)$ . Dobićeš jednačinu četvrtog stepena po $v$ . E, onda nju treba da rešiš, pa da se vratiš natrag kroz smene.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme