Pomoć oko ovog izvoda

Pomoć oko ovog izvoda 25.11.2012. u 03:43 · pre 169 meseci #1

Poštovani matematičari,

treba mi objašnjenje kako se od
$\psi(x)=\int_{x_0}^{x} K(x,\alpha)f(\alpha)d\alpha$
dođe do
$\psi'(x)=K(x,x)f(x)+\int_{x_0}^{x} K'_x(x,\alpha)f(\alpha)d\alpha$

K je Košijeva funkcija nehomogene diferencijalne jednačine, f(x) je "desna strana" te jednačine (mada ne verujem da je to bitno)

Re: Pomoć oko ovog izvoda 25.11.2012. u 10:14 · pre 169 meseci #2

Pođi od definicije izvoda. Šta je $(\psi(x+h)-\psi(x))/h$ ?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoć oko ovog izvoda 25.11.2012. u 11:52 · pre 169 meseci #3

pa trebalo bi da je prvi izvod. Ali kako konkretno to ovde primeniti ?

Re: Pomoć oko ovog izvoda 25.11.2012. u 12:28 · pre 169 meseci #4

$\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{\psi(x+h)-\psi(x)}{h}&=&\displaystyle\frac 1h\left(\int_{x_0}^{x+h}K(x+h,\alpha)f(\alpha)\,d\alpha-\int_{x_0}^{x}K(x,\alpha)f(\alpha)\,d\alpha\right) \vspace{0.5em}\\&=&\displaystyle \frac 1h\left(\int_{x_0}^{x+h}K(x+h,\alpha)f(\alpha)\,d\alpha-\int_{x_0}^{x+h}K(x,\alpha)f(\alpha)\,d\alpha\right)+\frac 1h\left(\int_{x_0}^{x+h}K(x,\alpha)f(\alpha)\,d\alpha-\int_{x_0}^{x}K(x,\alpha)f(\alpha)\,d\alpha\right) \vspace{0.5em}\\&=&\displaystyle \int_{x_0}^{x+h}\frac{K(x+h,\alpha)-K(x,\alpha)}h\,f(\alpha)\,d\alpha+\frac 1h\int_x^{x+h}K(x,\alpha)f(\alpha)\,d\alpha \vspace{0.5em}\\&=&\displaystyle \int_{x_0}^{x}\frac{K(x+h,\alpha)-K(x,\alpha)}h\,f(\alpha)\,d\alpha+\int_{x}^{x+h}\frac{K(x+h,\alpha)-K(x,\alpha)}h\,f(\alpha)\,d\alpha+\frac 1h\int_x^{x+h}K(x,\alpha)f(\alpha)\,d\alpha$

Sad treba dokazati da kada $h\rightarrow 0$ prvi sabirak teži $\int_{x_0}^x\frac{\partial K(x,\alpha)}{\partial x}\,f(\alpha)\,d\alpha$ , drugi nuli, a treći $K(x,x)f(x)$ . Naravno, sve to važi pod određenim uslovima za funkcije $K$ i $f$ .

$f$ treba da buse samo neprekidno. $K(x,\alpha)$ treba da bude definisano i neprekidno na $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\times(x_0,x+\varepsilon)$ ako je $x_0<x$ , odnosno na $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\times(x-\varepsilon,x_0)$ ako je $x_0>x$ , odnosno na $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\times(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ ako je $x_0=x$ i da na tom pravougaoniku postoji i bude neprekidan parcijalni izvod od $K$ po $x$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: Pomoć oko ovog izvoda 25.11.2012. u 13:28 · pre 169 meseci #5

Svi uslovi koje si naveo su zadovoljeni po pretpostavci teoreme čijeg je ovo deo dokaza. Jedino mi u njenom dokazu nije bio jasan korak koji sam naveo još u prvoj poruci. Hvala za uloženi trud, mada verujem da postoji neki očigledniji način, pošto na predavanjima nije posvećena posebna pažnja tome ( a obično se sve postupno radi )

Re: Pomoć oko ovog izvoda 25.11.2012. u 16:40 · pre 169 meseci #6

Tako se radi, a postoji opsta formula za izvod po $x$ od $\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt$ . Zato se tome ne pridaje paznja.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: Pomoć oko ovog izvoda 25.11.2012. u 16:57 · pre 169 meseci #7

Ajde kad si se već setio te formule, podseti i mene

Re: Pomoć oko ovog izvoda 25.11.2012. u 22:46 · pre 169 meseci #8

Probaj da je izvedeš na prethodno opisani način.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoć oko ovog izvoda 29.11.2012. u 12:45 · pre 169 meseci #9

$F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt$
$\begin{array}{rcl}(F(x+h)-F(x))/h&=& \displaystyle \frac 1h\left(\int_{a(x+h)}^{b(x+h)}f(x+h,t)\,dt-\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right) \vcspace{0.5em}\\ &=&\displaystyle \frac 1h\left(\int_{a(x)}^{b(x)}f(x+h,t)\,dt+\int_{b(x)}^{b(x+h)}f(x+h,t)\,dt-\int_{a(x)}^{a(x+h)}f(x+h,t)\,dt-\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right) \vcspace{0.5em}\\ &=&\displaystyle \int_{a(x)}^{b(x)}\frac{f(x+h,t)-f(x,t)}{h}\,dt+\frac 1h\int_{b(x)}^{b(x+h)}f(x+h,t)\,dt-\frac 1h\int_{a(x)}^{a(x+h)}f(x+h,t)\,dt$
Kada $h\rightarrow 0$ prvi sabirak teži ka $\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial f}{\partial x}\,f(x,t)\,dt$ ako je parcijalni izvod funkcije $f$ po prvoj promenljivoj definisan i neprekidan na skupu $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\times[\min\{a(x),b(x)\},\max\{a(x),b(x)\}]$ .

Drugi sabirak je po prvoj teoremi o srednjoj vrednosti za integrale jednak $\frac{b(x+h)-b(x)}{h}\,f(x,t_1)$ za neko $t_1\in[\min\{b(x),b(x+h)\},\max\{b(x),b(x+h)\}]$ ako je funkcija $f$ neprekidna po drugoj promenljivoj na $[\min\{b(x),b(x+h)\},\max\{b(x),b(x+h)\}]$ , a ukoliko je funkcija $f$ neprekidna na $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\times(b(x)-\varepsilon,b(x)+\varepsilon)$ i funkcija $b$ je diferencijabilna u $x$ , onda drugi sabirak teži ka $b'(x)f(x,b(x))$ .

Ako je pritom funkcija $f$ neprekidna na $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\times(a(x)-\varepsilon,a(x)+\varepsilon)$ i funkcija $a$ ima izvod u $x$ , onda na sličan način umanjilac teži ka $a'(x)f(x,a(x))$ .

Dakle, ako su ispunjeni uslovi

1) parcijalni izvod funkcije $f$ po prvoj promenljivoj je definisan i neprekidan na skupu $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\times[\min\{a(x),b(x)\},\max\{a(x),b(x)\}]$ ,

2) funkcija $f$ je neprekidna na $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\times(a(x)-\varepsilon,a(x)+\varepsilon)$ i $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\times(b(x)-\varepsilon,b(x)+\varepsilon)$ ,

3) funkcije $a$ i $b$ su diferencijabilne u tački $x$ ,

onda je

$\frac d{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt=\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt+b'(x)f(x,b(x))-a'(x)f(x,a(x))$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoć oko ovog izvoda 29.11.2012. u 16:49 · pre 169 meseci #10

To je nista drugo do Leibniz-ovog pravila za diferenciranje ispod znaka integrala. Pogledati prilog.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Leibniz.pdf312.53k

Re: Pomoć oko ovog izvoda 29.11.2012. u 17:28 · pre 169 meseci #11

Tja, mogao si da okačiš to ranije da ne moram ja da kucam. Džaba sad.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoć oko ovog izvoda 29.11.2012. u 17:37 · pre 169 meseci #12

Da si napisao kako izgleda konacna formula kad si bio pitan onda bih i okacio (jer sam smetnuo sa uma ovo pravilo, a da si ga napisao setio bih ga se momentalno). Mislim da nije bas sad dzaba, bar zna kako se zove pravilo (ako se nekada bude pozivao na njega), a i ovo moje ima i malo price oko samoga stava (oko pomocnih stavova koji se koriste u dokazu, na primer).

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme